人教B版数学必修五：3.1《不等关系与不等式》学案（含答案解析）

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1、第三章不等式3.1不等关系与不等式1不等式的基本性质对于任意的实数a，b，有以下事实：abab0；abab0；ababb0，m0，要比较与的大小，就可以采用以下方法：.m0，ab0，ba0，0，b，bcac.(2)ab，cdacbd.(3)ab，c0acbc.(4)ab，c0acb0，cd0acbd.(6)ab0，n为正实数anbn.双向性：(1)ab0ab；ab0ab；ab0abbbacbc.单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)若把c0作为大前提，则abacbc，若把cbacbc.这两条性质也经常用于解不等式例如，下面这个简单的一元一次不等式也需要在上述

2、性质下才能完成解不等式：xx.解xx2x98x1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)2x8x10 (不等式两边都加上9)10x1 (不等式两边都乘以，不等式方向改变！)3正分数的一个有趣性质在ab0，m0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：1. / 由可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大例如：.由.从函数的观点看：当ab0时，函数f(x)在x0，)上是单调递增的；函数f(x)在0，)上是单调递减的一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式

3、分解和配方法例1已知mR，ab1，f(x)，试比较f(a)与f(b)的大小解可将f(a)与f(b)分别表示出来，然后根据m，a，b的取值范围进行比较，但由于m的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解由于f(x)，所以f(a)，f(b)，于是f(a)f(b)，由于ab1，所以ba0.当m0时，0，所以f(a)f(b)；当m0，所以f(a)f(b)；当m0时，0，所以f(a)f(b)二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a，b都是正数，则ab1；abb1.a1；ab1.作商比较法的基本步骤为：作商；变形；与1比较大小；下结论例2设a0，b0，且ab，试

4、比较aabb，abba，(ab)三者的大小解aabbab当ab0时，1，ab0，001，aabb(ab).当0ab时，01，ab0，01，aabb(ab).所以，不论ab0还是0a(ab).同理：(ab)abba.综上所述，aabb(ab)abba.三、利用不等式的性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断例3对于0a1，给出下列四个不等式loga(1a)logaa1aa1其中成立的是()A与 B与C与 D与解析0a1，a1，1aloga，a1aa1.答案D四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变

5、量的取值范围此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明例4是否存在实数a，使不等式loga (a1)对一切大于1的自然数n都恒成立？如果存在，试确定a的取值范围，否则说明原因解记f(n) (nN*，且n1)如果存在题意中要求的实数a，那么loga(a1)f(n)minf(n)f(n1)0，f(n)为增函数，故f(n)minf(2)，loga(a1)，由此可解得1a，所以满足本题的实数a存在，其取值范围是.误用不等式的性质而致错例已知：1ab2且2ab4，求4a2b的范围错解由于1ab22ab4得32a6a3

6、(1)得02b30b4(2)得34a2b12.点拨上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的那到底是为什么呢？我们先看不等式4a2b3什么时候取等号，由上述解题过程可知，当a且b时，才取等号，而此时ab0，不满足式，因此4a2b是不能等于3的同理可验证4a2b也不能等于12，出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形因此结论是错误的正解换元法令ab，abv，则24,1v2.由解得.4a2b4222vv3v.而24,33v6，则53v10.54a2b10.例设0x0，a1，试比较|loga(1x)|和|l

7、oga(1x)|的大小解方法一首先判断对数式loga(1x)和loga(1x)的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较解题过程必须注意对数函数的单调性0x1，01x1,11x1时，loga(1x)0P|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)01x20.故P0，得|loga(1x)|loga(1x)|.(2)当0a0，loga(1x)0P|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)01x20.即P0.故|loga(1x)|loga(1x)|综上所述，当a0，a1时，均有|loga(1x)|loga(1x)

8、|.方法二将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论Plog(1x)log(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)loga由已知0x1，得01x21,01x1,11x2，01x1x，01时，loga(1x2)0，loga 0；(2)当0a0，loga 0，P0综合(1)、(2)知，当a0，a1时总有log(1x)log(1x)故|loga(1x)|loga(1x)|.方法三将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式|log(1x)(1x)|0x1，01x1,11x2.01x21，1xlog(1x)(1x)1，|loga(1x)|loga(1x)|.1如果xy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析不等式转化为1yx.答案D2若0a1a2,0b1，最大的数应是a1b1a2b2.方法二作差法a1a21b1b2且0a1a2,0b1a1，b21b1b1，0a1，0b10，a1b1a2b2a1b2a2b1.(a1b1a2b2)2a1b1a1b1b1(2a11)(2a11)(2a11)20，a1b1a2b2.综上可知，最大的数应为a1b1a2b2.答案A 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！