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1、 西安文理学院学士学位论文点与曲线空间投影的探讨系 院 名 称 数学与计算机工程学院 西安文理学院数学与计算机工程学院点与曲线空间投影的探讨（西安文理学院数学与计算机工程学院，陕西 西安， 710065）摘要： 空间投影是解析几何的重要内容之一，而且其应用很广泛.本文介绍了空间投影的概念，给出了点与曲线空间投影的概念及其求法，并分析了空间曲线在坐标平面的投影的误区所在，将点与曲线空间投影整体做了归纳，并总结了几种投影的具体求法。关键词：空间的点；空间的直线；空间的曲线；投影。The projection of points and curves in spaceWang Chun( Mathe
2、matics and computer engineering Xian University of Arts and Science College of Xian, Shaanxi,710065)Abstract: the analytic geometry of space projection is one of the important contents, but also its application is very extensive. This paper introduces the concept of space projection is presented, an
3、d the curve of space projection concept and method, and an analysis of space curve in a coordinate plane projection of the misunderstandings, the points and curves in space projection overall summarized, in the projection of lines, points in the projection plane, straight line in the plane of projec
4、tion, curve in the coordinates of the projection and the curve in the general plane of projection, and the curve in stereo in the projection plane, and error-prone areas summarized.Key words: point of space; space straight line; space curve; projection.前言：投影在几何研究领域有着重要地位，点与曲线是几何研究中比较普遍的东西，也是至关重要的内容，
5、有许多技巧和方法需要我们掌握，本文主要通过实例说明问题并将其归纳总结，也指出了在求投影时经常出错的地方，并总结了求点与曲线的各种投影的方法。一、预备知识空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线。 叫做空间曲线的一般方程。特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。空间曲线的一般方程 ， 当给定时，就得到曲线上的一个点，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。二、空间点的投影1、空间点到直线的投影定义：点到直线的投影就是由点向直线做垂线，这条垂线和直线的交点即所求的投影。求法：过点作平面与L垂直，L与交点p即为点在直线L上的投影点。例1、求点在直
6、线上的投影？解：所求投影就是该直线与以为法向量的，且过点的平面的交点 ，所求平面方程为：，即 ，与直线方程联立即可解出,，所以所求投影为。2、空间点到平面的投影定义: 点到平面的投影就是由已知点向已知平面作垂线，垂线与已知平面的交点即为投影点。求法：过作直线L与垂直，L与交点p即为点在平面上的投影点。例2、平面L为,点为,求点在平面L上的投影。解：过已知点，作垂直于平面 的直线：直线的参数方程 为 , , ； = , = 2, = 2，求该直线与平面 的交点, 直线方程代入平面方程，得 9=6 ，故，于是，即为所求投影点。例3、已知点,求点A在平面上的投影点B？解：过点向平面做垂线，交平面于B
7、因为向量为平面的法向量，所以过线段AB的直线的方向向量为，所以根据空间直线的点向式可得：垂线AB的方程为=，它与平面的交点B即为投影点所以将上述两个方程联立解出B（-，,）。三、空间曲线的投影1、直线在空间平面的投影定义：直线在平面的投影就是直线上每一点在平面的投影点构成的直线。求法: 过L作平面与垂直，则与的交线为L在上的投影。通常求直线在平面的投影，我们采取的方法是：（1）、在直线上任取两点，分别向平面做垂线，垂线与平面交点所在的直线就是直线到平面的投影；（2）、过直线L作平面与垂直，则与交线为就是直线L在平面的投影。例4、直线L：;在平面x+y+2z=5上的投影直线方程是什么？解：在直线
8、L: 上取点A(0,1,-1),B(,0, )。过A作平面x+y+2z=5的垂线x=y-1=,交平面x+y+2z=5于点C(1,2,1)。过B作平面x+y+2z=5的垂线=y= ,交平面x+y+2z=5于点D(,1, )。直线CD:3(x-1)=-(y-2)=(z-1),就是L在平面x+y+2z=5上的投影直线。例5、求直线,在平面上的投影直线方程。解：的法向量为(1,1,1)，过直线的平面束方程为，即 (1)，法向量为(1+3,2-2,-1)，若该法向量与(1,1,1)垂直，则，即2+2=0，=-1；代入(1) ，即，即该平面与平面的交线就是投影直线，直线就是，也可化成较简单的形式, 。2、
9、空间曲线在平面的投影2.1、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：H ( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0表示曲线C在面上的投影,表示曲线C在面上的投影,表示曲线C在面上的投影。设空间曲线的一般方程：，消去变量z后得：这就是曲线关于 的投影柱面，投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面。如图:投影曲线的研究过程。空间曲线投影曲线投影柱面例6、求曲线 在坐标面上的投影。解（1）消去变量z后得在 面上的投影为（2）因为曲线在平面 上，所以在面上的投影为线段。（3）同理在面上的投影也为线
10、段。例7、 求抛物面与平面 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程。解:截线方程为（1）消去得投影（2）消去得投影（3）消去得投影补充: 由空间曲线围成的空间立体或曲面在坐标面上的投影。空间立体曲面例8、设一个立体，由上球面和锥面所围成，求球面与锥面围成圆的曲线在平面的投影。解:半球面和锥面的交线为一个圆,2.2、在寻求 L 在坐标平面上的投影曲线及曲线围成柱面在坐标平面的投影时常有如下典型错误：求: 在平面上的投影曲线。解：从的两个方程中消去得到，故 :在平面上的投影曲线的方程为求:关于 平面的投影柱面的方程,解:从的两个方程消去y ,即得到关于 平面的投影柱面 的方程:，容易看出这两个解答都是
11、不完善的，因为和均为两个曲面的交线,且 其 中至 少各有一个曲面是封闭的,即范围是有限的,所以在平面 上 的 投 影,在平面上的投影也只能在有限范围内。其实由以上所作,我们只能断定在 柱 面上，在柱面上，而它们各自是否与柱面的直母线都相交尚待讨论。现来求在平面上的投影曲线 ,易见可表成，由第一式知: ，于是的投影曲线应是曲线，在平面的单位圆内的部分,讨论不等式组，首先，此外又有，故解得，所以在平面上的投影曲线应为，。完全相仿, 关于平面的投影柱面方程为，。现在我们就以寻求空间曲线L: ，在平面上的投影曲线及关于平面的投影柱面为例, 给出其正确的解法如下:从方程（1）、（2）消去坐标z，得 （3
12、），如果记平面上的曲线: 以及当方程（1）或（2）显含z时， 记平面上的区域 ，再根据L的新方程是L:或者L:,那么，曲线在平面上的投影就是，或者，而L在平面的投影柱面为，作为特殊情况，我们易见曲线在平面上的投影曲线及关于平面的投影柱面方程分别为和。例9、对于曲线L: ，由第一式乘以3再减去第二式得：，又由（1）式知，解不等式组，得，故L在平面上的投影曲线方程为且，（或者），L关于平面的投影柱面为，。例10、对于曲线L：将（2）式改写成，易见在平面上圆：整个被包括在半径为a的圆之内，即，故L在平面的投影柱面即为圆柱面：。下面在求此曲线在平面的投影柱面。把L的方程首先改写成L：进而在把它改写成L
13、: ，又易知对于任意y，z，方程（3）关于x均有实解，故从曲线L的最后形式的方程立即可知L在的投影柱面为。就以上所论可见，问题归根究底是从方程中消去参数时如何真确把握所产生的限制条件。如果在问题（2）中，将写成，那么由第二式立即有，再将第二式代入第一式，即消去z就得到关于平面的投影柱面方程。同样道理，对于一些归结为消去参数的问题，特别由曲线族生成曲面时，我们务必考虑为使这些参数在实数范围对点的坐标所产生的限制条件，否则难以活得正确结论。2.3、空间曲线在一般平面上的投影前面我们探讨了空间曲线在坐标平面的投影，现在我们来研究一下空间曲线在一般平面的投影有哪些问题：所谓空间曲线C 在平面P 上的投
14、影线,是将C 上的每一点作P 的垂直线与P 的交点的集合。问题1 ： 求空间曲线C 在一般平面P ：上的投影曲线l 的方程。 方法一 空间曲线C 可看成两个空间曲面的交线,即可用 ( 1)表示， ( 1) 式称为曲线C 的一般方程。所求投影曲线l 可看成由两个空间曲面的交线，一个是已知平面P,另一个是经过已给空间曲线C 且垂直于已知平面P 的柱面 ,故问题转化为求这一柱面方程。设柱面 的准线的方程为，母线方向，点M( x , y, z) 属于柱面的充要条件是点M 在某一条母线上，即存在准线上一点 (, , ) ，使得点M位于过点且以 b为方向向量的直线上.因此，有，方法二 空间曲线C 也可用参
15、数方程表示,即，其中t 为参数。经过C 上任意一点，作P 的垂直线方程为，则该垂直线方程可写成参数式:代入平面P 的方程求出s,记为 ：，设t 在C 的定义域内变动,即得l的参数方程如上,注意, 当t 变动时，不是常数。特别地，若P 为 平面,则于是l 的参数方程为，即曲线 C 在平面上的投影曲线只要将其参数方程中的z = z ( t ) 换成z = 0 即可。例11、求空间曲线在平面：上的投影曲线的方程。解 投影曲线的方程可看作平面 P和经过空间曲线C 且垂直于平面P的柱面的交线。先求柱面方程:柱面的准线方程为，母线方向为，设点M( x , y, z ) 是柱面上一点,点 (, , ) 为准线上一点,则有，由以上两式消去 , , 及t, 可得柱面方程为故投影曲线方程为。例12、 求曲线在平面上的投影曲线的方程。解：经过已知曲线 C 上任意一点作已知平面的垂直线方程为，则该垂直线方程可写成参数式: 代入已知平面方程求出s,记为 :，于是得到投影点的坐标: ，
