《导数的则运算和单调区间的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的则运算和单调区间的求法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数的四则运算和单调区间的求法(辅导二)一、导数的运算：1、几个特殊函数的导函数公式：2、四则运算公式：3、复合函数求导公式二、函数单调性的判断：1、利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)vO) 仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件。在区间(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b) 上递增(或递减)的充要条件应是f(x) 0(或f (x) 0(或/ (x) 0(或/(x) 0)，x (a,b)恒成立解出的参数的取值范围确定。三、典例选讲：1、求下列各函数的导数(其中a,b,c,n为常数)(1) y = 2Jx - + 43x(2)x22+
2、 -2x 21 - x3(3)(4)(5)y 二 x In x(6) y = xn In xy - iog 耳 y 二 log x y，二 y -lOg a、；解：2 a2 x ln a5x y =1 + x 2y 二 x sin x + cos x5sin x(10)1 + cos x(11)y=(1+x 2)5(12)y = (2 + 3x2)：1 + 5x2解：y = 6x1 + 5x2 + (2 + 3x2) (1十5炉)_ 6%話1 + 5x2 + (2 + 3x2) 5x2Q1 + 5 x2J1 + 5 x26 x(l+ 5 x 2) +10 x +15 x3 = 16 x + 4
3、5 x3 v1 + 5 x2；1 + 5 x2(13) y =、：x2 一a2解：y(x2 一a2)2、；x 2 a 22 xx2jx2 a2x2 a2x(14) y =育解: y1一x2)一曲1x2)(l x 2)2.1(2x)1 一 x2 一 x 2jl - x2(、匚x2)2(15)y = log (1+ x2)a解：y= (1+ x2)(1+ x2)ln a2 x(1+ x2)ln a(16)y = ln a2 x2x21 一 x 2 + (v1 一 x2 )2x2=1(-1 一 x2 )3解：y = 2ln(a 2 x 2)(a2 一 x2) xy = =2(a2 x2)a2 x2(
4、17)1 +百x y=lnk解：y = (1+ ：x) (1 x)=1 + x1 yj x+_!+=1 + ：x 2；x 1 .x 2Jx0,解得 OVxV 5. y=x2(1x)3 的单调增区间是(0, 5)2令 x(1 x)2(25x)0,解得 x 5 且 xM 1. J x = 1 为拐点,2y=x2(1x)3 的单调减区间是(一g, 0), (5 , +s)其函数的大致图像如下图：(2)设函数f(x)=ax (a+1)ln(x+1),其中a -1,求fx)的单调区间。(3)设函数 f(x)= 2x3 3(a- 1)x2 +1,其中a 1.(1)求 f(x)的单调区间；(II)讨论 f(
5、x)的极值.练习：1)设函数f (x)二 2x3 3(a +1)x2 + 6ax + 8其中a e R .若f (x)在(-0)上为增函数，求a的取值范围2)设函数 f (x)二x(x-a)2 ( x e R)，其中 a e R .(I) 当a二1时，求曲线y二f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；(II) 当a丰0时，求函数f (x)的极大值和极小值；(III) 当a 3时，证明存在k e -1,使得不等式f (k -cosx)三f (k2 -cos2 x)对 任意的 x e R 恒成立.(4)已知函数f (x) = ax3 -3x2 +1 - . (I)讨论函数f (x)的单调性；
6、a(II)若曲线y = f (x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求 实数 a 的取值范围.1 a1(5)已知函数 f (x)二 In x ax +1( a g R)(I)当 a g(x2)，求实数b的取值范围。(6)设 a 0,求函数 f (x) = x ln( x + a)( x g (0,+s)的单调区间.解 ：f(x)=丄-(x 0).当 a 0, x 0 时2 乜 x x + af(x) 0 o x2 + (2a 4)x + a2 0. f(x) 0 o x2 + (2a 一 4)x + a2 1 时，对所有x 0，有x2 + (2a 4) + a2 0.
7、即f(x) 0，此时f (x)在(0,+s)内单调递增.(ii) 当a = 1 时，对x 丰 1，有x2 + (2a 一4)x + a2 0，即广(x) 0，此时f (x)在(0，1)内单调递增，又知函数f (x)在x=1处连续，因此,函数f (x)在(0, +)内单调递增(iii) 当 0 a 0，即 x 2 + (2a 一 4) x + a 2 0.解得 x 2 a + 2jl a .因此，函数f (x)在区间(0,2-a-2、l-a)内单调递增，在区间(2一a + 2、：1一a,+s)内也单调递增.令 f (x) 0,即卩x2 + (2a 4)x + a2 0，解彳得 2 a 2： 1 a x 0)，讨论f (x)的单调性. x练习：设函数f (x)二aX + bx+ k k 0)在x = 0处取得极值，且曲线y二f (x)在点ex(1,f (1)处的切线垂直于直线x + 2y +1二0 . (I)求a,b的值；(II)若函数g(x) -, f ( x)讨论 g(x) 的单调性
