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1、向量法解立体几何用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。一.证明两直线平行a/b,A,B,a,C,D,b已知两直线和，则存在唯一的实数baAB,CD使，二.证明直线和平面平行a,A,B,a,C,D,E,1.已知直线且三点不共线，则？存在,aBAAB,CD,CE,有序实数对使Ea,A,B,a,2.已知直线和平面CD的法向量，则？n,AB,n,aEF例1:如图，在直三棱柱中，分别是、ABCABC,AB1111D的中点，点在上，求证：ACADBC,BC11111(1)EF?平面ABC;,(2)平面平面
2、.BBCCAFD111.证明两个平面平行,m/n,m,n已知两个不重合平面,法向量分别为，则？,四(证明两直线垂直a,bA,B,a,C,D,b已知直线。,则a,b,AB,CD,01五.证明直线和平面垂直a和平面,m,a已知直线，且AB,面的法向量为，则,a,AB/m二例1:如图，在三棱锥中，PA,底面，PABC,ABCPAABABCBCA,60,90,PBPC点D,E分另I在棱上，且DEBC/(?)求证：平面;BC,PAC(?)当口为PB的中点时，求AD与平面所成的角的大小；PACEADEP,(?)是否存在点使得二面角为直二面角,并说明理由.六.证明两个平面垂直m,n,已知两个平面，两个平面的
3、法向量分别为，则”,m,nPDABC而面例1:如图，四棱锥PABCD底面是正方形，点E在棱PB上.AECPDEBJ2面(?)求证：平面；(?)当且E为PB的中点时，求AE与PDAB,2平面PDB所成的角的大小.2七(求两异面直线所成的角a,bA,B,a,C,D,b已知两异面直线，则异面直线所成的角,AB,CD,cos,为：ABCD八(求直线和平面所成的角已知A,B为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面na,a,所成的角为:,AB,n,ABn,0,1(当时,22,AB,n,ABn,2(当时,22,0,60BD例、已知点H在正方体ABCDABCD对角线上，？HDA=(,(?)求DHfCC所成角
4、的大小；,AADD(?)求DH与平面所成角的大小(,CH,A,BCDyABx九(求二面角A,B,C,D,且AB,l,CD,l,l,且，则1(已知二面角,AB,CD二面角的平面角,的大小为:3,l,2.已知二面角分别为面的法向量，则二面角的平m,n面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即,m,n或,m,n注：如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。(2)通过观察法向量的方向，判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互中，底面为矩形，底面，例1:如图，四棱锥SABCD,ABCDSD,ABCD,ABM点M在侧棱上，=60?DCSD
5、,2SCAD,2(I)证明:M在侧棱的中点SC(II)求二面角SAMB,的大小。E例2.如图，正四棱柱中，点在上ABCDABCD,AAAB,24CC111111(CE,3EC1D1C1BED证明：平面；AC,A11B1(?)求二面角的大小(ADEB,1EDCAB4十.求两条异面直线的距离a,bmA,a,B,b已知两条异面直线,是与两直线都垂直的向量AB,md,则两条异面直线的距离m十一.求点到面的距离A,B,m已知平面和点A,B且，为平面的法向量，则点,，AB,md,A到平面的距离,m1.如图，直四棱柱ABCD-ABCD勺高为3,底面是边长为4,1111且？DAB=60的菱形，AC?BD=OAC?BD=O11111CD11O1E是OA勺中点.1A1B1(1)求二面角O,BC,D的大小；1E(2)求点E到平面OBC勺距离.1DOCAB
