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1、2sin- = 2半角公式：（其中土号由彳所在象限的函数符号而定）a . 1+cosa cos = J2 V 22020/2/3tan = 21-C0SQ1+cosctfsin a1+coscif1-COSdsina2020/2/32020/2/3sin acas/3 sin(a+0)+sin(a-0)zsin鲨游氓仏:4鰹2cos 理 sin0=丄sin(Q+0) sin(a 0)COS GCOS0=丄COS (Q+0) + COS (Q - 0) sin or sin ft=丄cos(a+0) cos(a 0)和差化积公式：2r .0+(p0-(Pcossin 0+ sin cp= 2 s
2、in cos sin&-sin0= 2cos.sin 一2 2cosc e+(p 0-(pCOS 0+ COS cp= 2coSj cosc . 3+(p. 0-(pcos 0cos 0= 2smsin 222020/2/3倍半角色理建I对于与三角函数有关的最值问题搏2020/2/3角的一个三角函数, 从而利用三角函数的最值来求解下面我们分类加以说明.一、y=a+bsinx型例1耒函数y=53sinx的最大和最小值. v分析根据正弦函数的最值情况来定.解:Q y=sinx的最大值和最小值分别是1和1,/. y = 5-3sinx的最大值和最小值分别是8和2.二、y二asinx+bcosx型71
3、例2当皿誇性蹲沖烽。分析这是关于sinx,cosx的一次齐次式，可化成一个角的 一个三角函数式.4解二3 sin x + 4 cos x=5sin (x+俨)(其中是满足tan 二一的锐角)3Q兀冗0兀 ，: cp 3 x+cp 5 +0,当 x+(p日寸，ymax = 5sin(xM =5 sin- = 5,而sin二丄，sin(+0)=cos0=；,.:歹聞=5x|.5255故y max= 5 ? min = 3-o+bsinx例3求函如缶的最值 分析可利用反求法 解： 由血皿 得(y+3)sinx = 5 2y,若y = -3矛盾,2+sinx.5 2ysinx =y+32Q sinx
4、1, sin2x 1,(y+3)221J卩 3/-26y+160,Jmi解得:-y8./.ymax=8,四、y = asin2x +bcos2x型 例4 求函数y = 3sin2x +4cos2x0：分析这是关于sin2x、cos2x的二次齐次式，可先降次.c c 29 l-cos2x , l+cos2xQ y = 3sm2x +4cos2x=3+42 2 _7 1+ cos 2x.2 2max Jmin =3例5 求函数丁 = sir?x +2sinxcosx+3cos2x的最值. 解:Q 丁 = sin2x +2sinxcosx+3cos2x1 - cos 2x2+sin2x+31+cos
5、 2x2sin2x+cos2x+2=V2sin (2x+? +2ymax=2+Q 心=2-Q= asin2x +bsinx 抚型耳-sin2x -4cosx+2, xg ,一的最值.3 3例6求函数y = 2cos2x分析对于这种二次非齐次式，可以看作是可化为二次函数 的函数求解.解:Q y = 2cos2x sin2x -4cosx+2 = 3cos2x -4cosx+l2 9 1=3(cosx)33f小兀17T112，1_15丫嘶才；11=V -2 9 J min4 又Q X ，/. COSX .332/.当乂 =时，(COSX)-min3 当 =兰时，3七、y = a(sinx+cosx
6、)+bsinxcosx型例7 求函数y = sin+c o s x+Sirix(WJ最 分析注意到(sinx+cosx)2=1 - 2sinxcosx.可把sinx+cosx看作是一个整体，利用换元法.解：设sinx+cosx = t，Q t = sinx+cosx =V2sin(x+ ),4/. /2 51 5_ t2= (sinx+cosx)2=l + 2sinxcosx , / sinxcosx =2_ 2 代入得：y= t+- =-t2+t-=-(r + l)2 -1,2 2 2 2-W F S /2min当t = 1 时，yml.=-l;当t寸，y练习题1 求下列函姿嗓為诲褪-：7.
7、-导/古取但：（2）y=log23 一 sinx3+sinx（l）y=log（2-cosx）;3Xx（3）y=4sin-+3 cos 22x g0, 7r （4）y=3sin2x - 6sinxcosx+l 1 cos2x.2已知函数f(x) = cos2x-2acosx+t?-2tz 0x 的最小值是-2, k2丿试确定实数a的值，并求岀f(x)的最大值.3.讨论函数f(x) = cos (2x-2ymax3.,T = ”,偶函数，在区间Z送上个,答案丄(go (2)4 (3)3迤12仁立辽 2皿=3时，在区间k冗一冷,kn：上l(kwZ).设矩形ABCD的面积为S73 .2sin a co
8、s asin a3忑-cosQ sina sina1 .小 /3 1 - cos 2a丿= sm2a2_ 1 ca/3a/3 =i 一sin 2of hcos 2aRI 2 2 2020/2/3 667 I例5如图，已知OPQ是半径为1,圆心角頭 的形，记加P必问雪弧上的动点，ABCD是扇形的赢严 角。取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。 解:在心VOBC中,03= cosa ,BC=sin a.r)Al在心 VOADft = tan 60= 3.厂 OAoa=Y D A =逅 b C =逅 sin 0.333AB= OB-OA= cosa- sin.3S=AB BC= 怎.
9、1.cos asin a sin a 1 3 ) sin 2a + cos 2a2丿6B -扇形形，记ZCOP二矿问雪例5如图，已知OPQ是半径为1,圆心角頭 的彳跻:魏沁丄IWHL、弧上的动点，ABCD是扇形的器鼾角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。S=AB BC=_ 1 fV3夙2_ 1所以当加+二,兀、sin 2g + -、6丿 ,得a亠3666即时，S最大=丄晅=逅67366 -因此当冬时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 逅2020/266571971由0 a 例2求函数歹=sin4 x + 2a/3 sin xcos %-cos4 x的最小正周期和最小值,
10、并写出该函数在区询0,7T丄的竜调蠱踏歯角军：y = sin4 兀+ 2侖sinjvcosjv cos x=(sin2 x + cos2 x)(sin2 x-cos2 x) + a/3 sin 2x=妇 sin 2兀 一 cos 2兀 =2sin(2x )* 6函数的最小正周期是TT,最小值是-2；令一冬 +2k7T 2x- +2k7T, 令一冬 +k7l X +k7T,26263-c C兀T F 5%k=0.0 X. k = l.X/2 sin( + ), tan( _) 令fO) = ab.求函数f (兀)的最大值，最小正周期，并写出函数在0,刃 上的单调区间.角军：f(x) = ab =
11、 2a/2cossin( + ) + tan( + )tan( _ ；2242424x - tan 121 + tan 224只1 + tan x 72 X、9-sin + cos ) +2、22221“ J兀兀.%1-tan =2sin cos + 2cos 12222= sinx + COSX =V2sin(x + -).4函数的最小正周期是2込最小值是血；71该函数在区间0,彳上的单调递增，在区间吟，刃单调递减2020/2/34丸嘗鈔函数例4设函数/（兀）= a/3cos2 ax+ sin atxcoscox/（ X）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是石 J）求的值；上的最小值为馆
12、，求a的值.a/3 _ _z 、一 一 冗 5ttII)如果/(x)在区间一亍石JT173角军：(I) /(x) = cos2x + -sin2x + + (7la/3= sin 2a)x- + + a依题意得2 + - =632Z/22，解之得= 2020/2/3(II)由(I)知,(li=sI3271 571n lTC7tt时，x + G0,3 6 J3L 63又当X W-|sin(x+j)l,兀5tt从而心）在r_-,i上取得最小值丄+逅+%3 622- L 3 6 因此，由题设知-】+石2故d.Loa di ng22020/2/3例 4 若 2翼 in x, m),k= (sin x + JIgoy（1）写出函数心）的解析式，并指出它的最小正周期;若5卩畑的最小值为2,勧的值。2020/2/3A a b4.若0 a j8 ,sin a +cos
