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1、“弹簧与物块的分离”模型模型建构:两个物体与弹簧组成的系统。两个物体在运动到某一位置时就会分开，那么这个位置就 是物体间的分离点。【模型】弹簧与物块的分离【特点】都要建立动力学方程；分离条件是：相互作用的弹力fn=0这个问题可以分成两类“模型”：【模型1】水平面上“弹簧与木块的分离”模型如图1，B与弹簧相连，而A、B是紧靠在一起的 两个物体，当弹簧原来处于压缩状态，如果地面是光滑 的，则物体A、B在向左运动的过程中A、B何时分离。解析物体应在弹簧的原长处分离。由于水平面 光滑，当弹簧从压缩状态回到自然伸长位置时，一直加 速运动。当它刚刚回到平衡位置时，物块B受的弹力为阻力，开始减速。而物块A不
2、受外 力做匀速直线运动。vA三vB此时A、B分离。【体验1】但是如果物体与地面之间是不光滑的，题目条件如模型1。试讨论分离条件。解析假设A、B在某一位置分离，此时刻两物体的相互作用力为零Fab=0 同时，两物体的加速度相同。则 aA 7 Ag；kxa 二卩 g+-B B mB讨论:如果巴等于匕或均为零；x等于零。两物体在0点分离;如果巴大于匕，x大于零，两物体在0点的右侧分离;(3)如果卩小于卩，x大于零，两物体的分离点在0点的左侧。AB点评两物体分离的条件是：相互间的弹力fn=0等于零；两物体瞬时加速度相等。 【模型2】竖直面上“弹簧与木块的分离”模型如图2所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计
3、的薄板，在薄板上放重物， 用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，重物何时与木板分离？解析当物体分离时，物体间的弹力Fn=0物块只受重力，物块的加速度为g，木板的加速度也为g 弹簧的状态应为原长，即弹簧恢复原长时，二者分离此时物块与薄板有共同的加速度。图2从动力学的角度可以得到，竖直方向的弹簧类问题两物体的分离点是在弹 簧的原长处。模型典案：【典案1】A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图3所示，已知木块A、B质量分别 为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F， 使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动(g=
4、10 m/s2)(1) 使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；(2) 若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减 少了 0.248 J,求这一过程F对木块做的功。解析(1)设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x有 kx= (mA+mB)g，所以 x=(mA+mB)g/k对A施加向上的F力，分析A、B受力如图4B，对 A： F+FN-mAg=mAa对 B： kx,-FN-mBg=mBa,可知，当Fn0时，AB有共同加速度a=a, 由式知欲使A匀加速运动，随Fn减小F增大， 当Fn=0时，F取得了最大值Fm，即卩Fm=mA 的)=441 N(2)又当F
5、n=0时，A、B开始分离，由式知，此时弹簧压缩量kx=mB (a+g) 即 xmB (a+g) /kAB共同速度v2=2a (x-xf)由题知，此过程弹性势能减少了 Wp=EP=0.248 J 设F做功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理WF+Ep-(叫+叫)g(x-X)=丄2(m.+m) v2A B联立，且注意到EP=0.248 J可知，Wf=9.64x10-2 J点评此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能 否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、 速度相同且相互作用的弹力Fn=0时，恰好分离。【案例2】如图5所示，轻
6、弹簧上端固定，下端连接一质量为m的 重物，先由托盘托住m，使弹簧比自然长度缩短L,然后由静止开始以 加速度a匀加速向下运动。已知avg,弹簧劲度系数为k，求经过多少时 间托盘M将与m分开？mm111【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作 用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力在这两个力的作用下，当重物的加速度也为a时，重物与托盘恰好M 分离。由于avg，故此时弹簧必为伸长状态。然后由牛顿第二定律和运动学公式求解: 根据牛顿第二定律得：mg - kx = mam (g a )由得：x =k由运动学公式有:L + x = at2联立式有：kL + m (g 一 a )1at2
7、k2解得：x =2 kL + m (g - a )ka点评本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条 件，同时还要能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。我们还可这样探索： 若将此题条件改为ag，情况又如何呢？【典例3】如图6所示，一劲度系数为k=800 N / m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12 kg的物体A、和B，物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上。现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4 s物 体B刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10 m / S2, 求：(1) 此过程中所加外力F
8、的最大值和最小值。(2) 此过程中外力F所做的功。解析(1) A原静止时，设弹簧压缩x1， 由受力平衡和胡克定律有：kx=mg物体A向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则所需外力F最小，设为F1 由牛顿第二定律：F+kXmg=ma当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则所需外力F最大,设为f2对 B： kx=mg对 A： F2-kx2-mg=ma由位移公式对A有：x + x = - at2 1 2 2又 t=0.4s由可得:12x10m-8000.15ma=3.75m/s2F1=45NF2=285N(2)0.4 s 末的速度：v=at=3.75x0
9、.4 m / s=1.5 m / s2对A全程由动能定理得：Wpmg (X+x2)=龙mv2解得：Wf=49.5 JF也可用能量守恒求解:在力作用的0.4s内，在初末状态有X=x2，所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力做 了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即：軽=庇或咼+场)+空陀(加尸=12x10 x(Q.15 + 0.15)+-xl2x(3.75x0.4)2J =49.57【典案4】如图7质量为mA=10kg的物块A与质量为mB=2kg的物块放在倾角为3Oo 光滑斜面上，处于静止状态，轻弹簧一端与物块B连接，另一端与固定档板连接，弹簧的 劲度系数为K=400N/m,现给物块A
10、施加一个平行与斜面向上的力F,使物块A沿斜面向上 做匀加速直线运动，已知力F在前0.2s内是变力，0.2s后为恒力，求力F的最大值和最小值。(g=10m/s2)【解析】原系统处于静止状态，则M与m受合外 力为零，设此时弹簧压缩量为X。即：(m+M)gsin300=kx0贝9：x0=0.15m由静止开始向上匀加速运动，m与M在00.2S内整体向上有共同的加速度a.设经时间为t,则在t内m与M上升位移为S：1S= 2加在 00.2S 内以 m 与 M 为整体：F+K(X0-S)-(m+M)gsin300=(m+M)a1当 t=0.2s 时 s=2 ax(0.2)2=0.02a由、得：F+(0.15
11、-0.02a)x400-60=(m+M)a分析可知在0.2s后F为恒力，此状况只有m与M分离可存在在七=0.2 s后，对m有：F mgsin300=ma,(此时力F也为t=0.2 s瞬间的力)F=(g/2+a)m由得：a=5m/s2.分析可知F最小力应是在t = 0时，即: F min=(m+M)a=(2+10) x5=60N在t=0.2s以后力有最大值即: Fmax=(g/2+a) xm=(10/2+5) x10=100N【典案策】质量为M=6Kg的小车放在光滑的水平面上，物块A和B的质量均为m=2Kg 且均放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如 图8所示
12、，物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B并保持小车静止，使弹簧处于压缩 状态，在此过程中外力做功270J。撤去外力，当A和B分开后，在A达到小车底板的最左 端位置之前，B已从小车左端抛出，吐求：(1) B与A分离时，小车的速度多大？(2) 从撤去外力至B与A分离时，A对B 做了多少功？(3) 假设弹簧伸到最长时B已离开小车。 A仍在车上，则此时弹簧的弹性势能是多大？解析(1)分析可知A、B分离时应在弹簧恢复为原长时，此时AB有共同速度为V,设车速为V2，接触面均光滑，动量守恒，取向右为正，O=Mv22mv1一 1 1又机械能守恒：EP= Mv2 + 2mv2P 22 21由得：V = 9m/s
13、, v2=6m/s(2) A对B做的功应为B的动能增量：1 WB=E = mv 2-0=81JB BK 21(3) A与B分离后，A的速度不变，弹力对A与M作负功。弹簧最长时，令A的速 度为V3, A与M有共同速度，动量再次守恒，有：取向右为正： Mv2mV=(M + m) v3第二次机械能守恒：丄(M + mL2 + E / = 189J23p由得：Ep =168模型体验:并使得与m连接的弹簧处于原长，手持木板M向下以 加速度a (ag)做匀加速运动，如图9。求物体m与木板一起做匀加速运动的 时间。解析m在与M 一起向下做匀加速运动过程中，m受到弹簧的弹力不断 增大，板M对m的支持力不断减小
14、，重力保持不变。m与板M分离的条件为板M对m的支持力FN恰好为零，且此时m与M 运动的加速度恰还相等。设：m与M分离经历t时间，弹簧伸长为x：mgkx=ma =m( g a)【体验1】用木板托住物体m.ZZZZ/Z解得：x又因为:1x=at22所以t=：2m( g - a) a图1011mi【体验2】如图10所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物， 用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过 程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是()A. 一直加速运动B.匀加速运动C.先加速运动后减速运动D.先减速运动后加速运动【解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力.所以，对物体进行准 确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹 力的作用.刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随 着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当 弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速
