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1、（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式 形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变
2、形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足的整数n有 个. 思路点拨：从指数运算律、1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A、一4 B、8 C、6 D、0 思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，. 【例3】 解关于的方程. 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论. 【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数、互不相等，且， 试求的值. 思路点拨：运
3、用连等式，通过迭代把、用的代数式表示，由解方程求得的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程（）直接作零值多项式代换； (2)把方程（）变形为，代换后降次；(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去. 解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如. 走进追问求根公式学历训练1、已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 . 2、已知，那么代数式的值是 . 3、若，则的值为 . 4、若两个方程和只有一个公共根，则( )A、 B、 C、 D、 5、当分式有意义时，的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、
4、且 6、方程的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、37、解下列关于的方程：(1)； (2)； (3). 8、已知，求代数式的值. 9、是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口. 10、若，则 . 11、已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 . 12、已知是方程的一个正根. 则代数式的值为 . 13、对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值
5、等于( )A、1 B、2 C、 D、25 14、自然数满足，这样的的个数是( ) A、2 B、1 C、3 D、415、已知、都是负实数，且，那么的值是( )A、 B、 C、 D、16、已知，求的值. 17、已知m、n是一元二次方程的两个根，求的值. 18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值. 19、已知方程的两根、也是方程的根，求、的值. 20、如图，锐角ABC中，PQRS是ABC的内接矩形，且SABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数求证：需为无理数. 参考答案第二讲 判别
6、式二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值
7、范围是 . (广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于的不等式组，注意、的隐含制约. 注：运用判别式解题，需要注意的是： (1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约； (2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识. 【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A、 B、或 C、 D、思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择. 【例3】 已知关于的方程， (1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； (2
8、)若等腰三角形ABC的一边长1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长. (湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值. 注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍. （2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法. 【例4】 设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相
9、应的3个根. (重庆市竞赛题)思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零. 【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD，DC，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE，问：这样的点E是否存在?若存在， 这样的点E有几个?请说明理由. (云南省中考题)思路点拨：要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似，点E必须满足AED+BEC90，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得RtADERtBEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数. 注：有些
10、与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有： (1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造. 判别式二次方程根的检测器学力训练1、已知，若方程有两个相等的实数根，则= . 2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 . (辽宁省中考题)3、已知关于方程有两个不相等的实数解，化简= . 4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A、 B、 C、且 D、且 (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为、，B90，那么关于的方程的根的情况为( ) A、有两个相等的实数根 B、没有实数根C、有两
11、个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( ) A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC中， A、B、C的对边分别为、，已知，和是 关于的方程的两个实数根，求ABC的周长. (济南市中考题)8、已知关于的方程 (1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为、，满足=3，求实数的值. (盐城市中考题)9、为实数，关于的方程有三个不等的实数根. (1)求证：；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，
12、求证该三角形必有一个内角是60；(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值. (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)11、当= ，= 时，方程有实数根. (全国初中数学联赛试题)12、若方程有且只有相异二实根，则的取值范围是 . 13、如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定14、已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12个 B、10个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)15、已知ABC的三边长为a、b、c，且满足方程，则方程根的情况是( ) A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)16、若a、b、c、d0，证明：在方程；中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a、b、c满足，abc1，求证：a、b、c中至少有一个大于. 18、关于的方程有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题) 19、考虑方程(1)若=24，求一个实数，使
