《数学归纳法在中学数学中的应用毕业论文 2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法在中学数学中的应用毕业论文 2（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学归纳法在中学数学中的应用毕业论文 2 毕 业 设 计论文 数学归纳法及其在中学数学中的应用Mathematical Induction and the Application in Middle School 学 院理学院 专 业 数学教育 学 号 姓 名 指导教师 二一二年六月摘 要 数学归纳法是一种非常重要的数学方法它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用数学归纳法是将无限化为有限的桥梁主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式数学归纳法在中学数学中的整除问题恒等式证明公理证明排列和组合几何领域等
2、都有着广泛的应用这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学中的应用要准确的运用数学归纳法首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键运用归纳假设推出猜想最为重要最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中可以更加深刻理解和掌握归纳猜想证明这一探索发现的思维方法 关键词归纳法 数学归纳法 中学数学 证明 ABSTRACTMathematical induction is a very important mathematical methods it is not only to our middle school mathematics le
3、arning have great help but also in higher mathematics after the study and research is also an important way Mathematical induction to the correctness of the formulas of the inspection of the application of also has the very big Mathematical induction into the limited is infinite bridge mainly discus
4、ses the relevant proposition about natural number set or identities Mathematical induction has wide application in middle school mathematicssuch as the problem of divisionthe proof of identitythe proof of axiompermutations and combinationsgeometryhere we main combination junior middle school teachin
5、g material to a detailed list mathematical induction in the middle school mathematics application To the application of mathematical induction skilled we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps and in three steps into the use of assumptions is p
6、articularly critical the use of assumptions summarized introduced guess the most important In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process can more deeply understand and master summed up - guess - prove this discovery to explore ways of thinkingKey words
7、induction mathematical induction middle school mathematics proof 目 录 绪论101 问题的提出与课题意义1011 问题的提出1012 课题的研究意义11 数学归纳法概述211 数学归纳法的相关概念2111 归纳法和演绎法2112 数学归纳法3113 数学归纳法与归纳法的关系312 数学归纳法的基本原理及其其它形式4121 数学归纳法的基本原理4122 数学归纳法的其它形式513 数学归纳法的步骤8131 数学归纳法的步骤8132 三者缺一不可82 数学归纳法在中学数学中的应用1121 数学归纳法在中学数学中的具体应用11211
8、运用数学归纳法解决整除问题11212 运用数学归纳法证明恒等式11213 运用数学归纳法解决不等式问题13214 数学归纳法在排列和组合中的应用15215 运用数学归纳法解决几何领域问题1522 毕业实习中的案例16221 到时的变化16222 忽略时的假设条件17总 结19致 谢20参考文献21绪论01 问题的提出与课题意义011 问题的提出高中数学教科书中我们已经学习过数学归纳法在高中阶段学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立学生也往往满足于时命题成立那么时命题也成立的证明方法数学归纳法是一种重要且独特的证明方法对与自然数有关的命题证明是可行有效的它使学生了解一
9、种化无限为有限的辩证思维方法而且它又不是那么直观易懂的学生在学习数学归纳法的过程中总会产生一个这样的疑问在用数学归纳法证明表达式中证明三步骤是不是真的完整呢真仅是纯粹的假设一旦不真用它去推真岂不是无稽之谈即使推出真能保证真吗如果让学生带着这种疑问去学习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感的当然老师会说这是非常完整的那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用在用数学归纳法证明恒等式时当然我们会知道这个恒等式肯定是正确的那么它又是如何被前人计算出来的呢数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解可见数学归纳法也
10、有着自己的限制和适用范围那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解 012 课题的研究意义 数学归纳法学好了学透了对进一步学好高等数学有所帮助甚至对认识数学的性质也会有所裨益1数学归纳法应用比较广泛可以说是关系到自然数的结论都可以用它来验证弄懂数学归纳法的本质可以使学生更好地掌握数学归纳法学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力观察能力数学化能力逻辑思维能力和解决综合性问题的能力另外它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带是初等数学中非常重要的一部分了1 数学归纳法概述11 数学归纳法的相关概念111 归纳法和演绎法归纳法是
11、以考察特殊个别的情况后作出的论断作为基础再从这些个别情况的论断归纳出一般的结论也可以说它是从特殊到一般的推理方法一般的说归纳法可分为两种一种是不完全归纳法另一种是完全归纳法 1 不完全归纳法它是只验证了部分特殊情况而推测出一般情况也成立的归纳法不完全归纳法的推理模式是设是研究对象的所有情况的集合若具有属性若具有属性若具有属性则集合中任一元素都具有属性注意在对研究对象的考察是不完全的归纳法中的不完全归纳法只能提供一种推测这时可能猜对也可能猜错例如法国数学家费马曾考察如的数他发现当时的值分别为是质数于是归纳法结论所有形如这样的数都是质数然而欧拉发现当时是个合数这就证明费马的猜测是错误的尽管不完全归
12、纳法提供的猜测可能出错但它却是发现真理的强有力手段德国数学家高斯就说过他的许多定理就是靠归纳法发现的作为一种创造思维方法它在数学真理概括方面有着很重要的作用 2 完全归纳法它是验证了全部特殊情况从而断言结论成立的归纳法它的推理模式是设是研究对象的全面几种情况的集合若具有属性若具有属性则集合中的任一元素都具有属性显然完全归纳法得到的结论是可靠的它可以比作为数学严格推理论证方法初中平面教材中的圆周角定理的证明就是利用完全归纳法证明分三种情况 1 圆心在圆周角一边上 2 圆心在圆周的内部 3 圆心在圆周的外部因为只有三种情况因此把每种情况证明以后就可归纳出圆周角定理演绎法它主要是从一般的定义公理和已
13、经被证明了的定理基础上推理导出特殊的判断也可以说它是一般到特殊的推理方法如在初中教材中下面的一个例子就是运用了演绎法例111已知直线与相交求证证明因为所以同位角相等又因为对顶角相等所以等量代换 图1 平行相交112 数学归纳法数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一它在数学各个分支里都有广泛应用该方法早期叫逐次归纳法始见于英国数学家得摩根1806-1871或完全归纳法始见于德国数学家戴德金1831-1916但后来人们更喜欢用数学归纳法的名称因为它更能体现论证的严格性和科学性而不与逻辑学中的归纳法混淆数学上最早使用数学归纳法的人首推法国数学家帕斯卡1623-1662但他并未确立方法的理论依据
14、直到意大利数学家皮亚诺Peano1855-19322在高中阶段我们把这样的一种证明方法定义为数学归纳法即时成立假设当时成立能够推出当时也成立数学归纳法其实还有着它的变着后面我们将对数学归纳法的其它形式进行探讨113 数学归纳法与归纳法的关系 归纳法通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程的方法在所有学科中都有应用其结论往往超出前提控制的范围所以人们称它是开拓性的思维方法也正因为结论超出了前提的管辖范围前提就无法保证结论为真所以归纳法只能是或必然性的真理和归纳法不同数学归纳法所证明的结论是完全可靠的所得的结论完全蕴含于前提中所以人们称它为封闭式或收敛性的推理方法只要前提真实逻辑形式正确结论必
15、然真实但数学归纳法只用于数学用来证明某种定理属于论证的范畴是一种演绎法因此把数学归纳法称为归纳法实在是不适宜的因为在这两种过程之间没有什么逻辑联系然而在数学中两种方法常常结合使用归纳法由于所考察的对象不完备性它所得的结论不一定可靠这就需要数学归纳法对其进行证明从而保证结论的正确可以说归纳法与数学归纳法是相互联系互为补充的两种推理方法归纳法是数学归纳法的基础数学归纳法是归纳法的前导归纳法为数学归纳法准备条件数学归纳法为归纳法提供理论依据恩格斯指出归纳和演绎正如分析和综合一样是必然相互联系着的不应该牺牲一个而把另一个捧到天上去应当把每一个都用到该用的地方而要做到这一点就只有注意它们的相互联系和相互补充3 12 数学归纳法的基本原理及其其它形式121 数学归纳法的基本原理 在了解数学归纳法的基本原理前我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程首先父母叫我们数后来数有必有每一个正整数后面都有一个正整数于是我们说会数数了事实上数学归纳法正是基于这样一个简单原理数学归纳法来源于皮亚诺自然公理自然数有以下性质 1 是自然数
