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1、拉萨师范高等专科学校数理系第六章关于方差的统计推断本章教学目的和要求:1掌握总体方差、标准差的点估计方法；了解估计中系数 1/n与1/(n-1)之间的区别；掌握 单个正态总体方差、标准差的区间估计.2、掌握单个正态总体方差的双侧假设问题的检验方法；掌握两个正态总体方差之比的双侧假设问题的检验方法.第六章关于方差的统计推断课题名称 1方差的估计学时4基本内容：方差与标准差的点估计；估计中系数1/n与1/(n-1)之间的区别；单个正态总体方差、标准差的区间估计教学重点(难点)单个正态总体方差、标准差的区间估计基本要求1. 掌握总体方差、标准差的点估计方法2. 了解估计中系数1/n与1/(n-1)之
2、间的区别3. 掌握单个正态总体方差、标准差的区间估计教学课型新授教学方法讲授法、讨论方差的估计方差是总体分布的一个重要特征值，刻画了一个分布的离散程度，即表征总 体的取值是相对集中还是比较分散由前面关于均值统计推断的讨论可以知道， 方差的大小会影响到均值区间估计的精度在比较两个正态总体的均值时，还用 到了两个总体方差相等的前提因此，关于方差的统计推断是统计分析的一个重 要方面本章将讨论通过样本估计总体的方差以及检验有关方差假设的统计方法.1.1 方差与标准差的点估计如果容量为n的样本是X X2,ggg X.那么对总体方差2的点估计可取为其中X1 nXKn k i2S21n.在实际计算中,n(X
3、kk 12X)n1 (XkI k 12X)(6.1 )经常用下述公式nXk2 n(X)2k 1相应地，对标准差的点估计就是(6.2 )(6.3)*(Xk X)2n 1 k 1例6.1.1 对某煤矿的7个样品作分析，测得煤的含灰率数据为24.3,20.8,23.7,21.3,17.4,18.2,20.2.已知煤的含灰率具有正态分布N , 2 .试对含灰率分布的均值与方差作出估计.解 对于均值 所作的估计当然是1X - (24.320.8 23.721.3 17.418.2 20.2)20.84在作方差的估计时，先求平方和7Xk224.3220.8223.7 221.321 7.421 8.222
4、0.223 0 80.55k 1再根据（6.2 ）式和（6.1 ）式，得到方差的估计值2 2 1 22S2 (3080.55-720.84 )=6.7471与之相应的标准差的估计值是11也有人使用公式2X）S=、6.742.601.2 系数1与n n在作方差的估计时,1 n Xk2 (X)2n k 1(6.4)1 n Sn （Xkn k 1与（6.1 ）式作比较，容易得到2 n 1 2 SnSn也即是（6.4 ）式的估计值较（6.1 ）式的值略小.如果样本容量n很大，那么n 11，n 这样两个估计式所得到的估计值将相差甚微，所以不至于对统计推断产生严重影 响如果样本容量n比较小，那么由（6.1
5、 ）与（6.4 ）两式给出的估计值将有较 为明显的差异，这时建议使用（6.1 ）式作方差的估计，因为估计式（6.1 ）有较 好的统计性质.2 从数理统计的理论中考虑由正态总体获得的样本 X1, X2,gffl Xn : N可已知道,2X):2(n 1)(6.5)其中2（n 1）称为自由度为n 1的2分布因为2分布的自由度正是 2分布的数学期望，所以（6.5 ）E J7 （Xk意味2X) n 1拉萨师范高等专科学校数理系或者 E S22这表明，由（6.1 ）式给出的估计是无偏估计；而对于（6.4 ）式中的Sn2 , 有E Sn2n ，2n 2，是一个有偏估计.这就是在小样本时，我们认为S2是比S
6、n2要n好的原因.1 . 3方差或标准差的区间估计有了（ 6.5）,使得在正态总体的情况下可以给出方差或标准差的区间估计.由于2分布不是对称的，所以在用（6.5 ）式作方差或标准差的置信区间时，需要从2分布表中查出两个分位点值，而不只是一个值.一般，如果容量为n的样本X1，X2,g Xn是来自一个正态总体N , 2 .当 给定了置信度1 ，要求总体方差2的区间估计，则可在2分布表中，取自由度 为n 1，查找两个分位点值 2 /2与21 /2，它们分别满足2 2 2 2P（ /2）， P（ 1 /2）1.2 2这样2的置信度为1 的置信区间即为(6.6)(n 1)S2 (n 1)S22 ， 21
7、 -22式中S2为（6.1 ）式所给的2的点估计.由于标准差是方差的算术平方根，所以 自然地就将(6.7)作为标准差的置信度为1例6.1.2 在表6.1的置信区间.中给出了 20位学生在一次高中数学测试中的成绩（分）.现在认为这次数学测试的成绩服从正态分布 N , 2 .试依据所给样本观 察值，求方差2及标准差 的置信度为95%勺置信区间.表6.1 20位学生的数学测试成绩8779756168697984707170848359778069917673解我们用(n 1)S* 自然，这时可以近似地认为教学后记 (2 ，n 1)S22 因为置信水平为10.95，所以1221-0.975.由已知有2
8、 20.0258.9065,0.97532.852,将22 2S69.99,0.02528.9065,0.97532.852, n(n 1)S2 (20代入2，n 21)S中求得122方差2的置信度为95%勺置信区间是40.48,149.31 ,相应地，标准差的置信度为95%勺置信区间为6.36,12.22 .在样本容量n较大时，无法由2分布表得到所需要的分位点值，这时可以用(6.8 )正态分布作近似，认为N (0,1)于是当给定了置信度1之后,可以从标准正态分布表中求得Z1,这样可以得到标准差的置信度为1的置信区间Z1 /2Z1/2(6.9)112nS2S2(6.10)乙/22n乙/2是方差
9、2的置信度为1 的置信区间.例6.1.3 某地区气象站对该地区夏季（7 8月）的日最高气温作统计分析， 在收集了连续8年共计496个日最高气温后，求得样本方差S211.03 .如果该地区夏季日最高气温服从正态分布，试求总体标准差的置信度为95%勺置信区间.Z解因为样本容量n 496很大，所以用正态分布作近似.我们用SN (0,1）.因为置信水平为10.95，所以/ v 2 n120.975 .将 SJ11.03332,Z 0.9751.96, n 496 代入1.96S1、2 n1.96中求得置信度为95%的置信区间是3.13,3.54作业习题6.1第1、2题拉萨师范高等专科学校数理系课题名称
10、 2方差的假设检验学时4基本内容：单个正态总体方差的检验（包括样本容量较大时）；两个正态总体方差之比的假设检验教学重点（难点）单个正态总体方差的检验（包括样本容量较大时）；两个正态总体方差之比的假设检验基本要求1.掌握单个正态总体方差的检验（包括样本容量较大时）2.掌握两个正态总体方差之比的假设检验教学课型新授教学方法讲授法、讨论方差的假设检验和考虑方差或标准差的区间估计一样，我们只在总体分布为正态分布，即样本Xi, X2,gffi Xn是来自一个正态总体 N , 2的条件下来讨论方差的假设检验冋题.2. 1单个正态总体方差的检验仍然考虑正态总体的情况，样本 X1, X2,gg Xn : N
11、,，其中参数, 都未知.要检验的假设是2 2 2 2Ho：0 ,Hi：o（6.11 ）式中o2是一个给定常数由（6.5 ）式所给的性质，这里选用的检验统计量为 2n121 n_ 22 S2（X K X ）（6.12）0k 1在确定了显者水平 后，可从2分布表中自由度Nn 1的一行内查的检验的上、下两个临界值 2 /2与 21 /2 .这样，检验的拒绝域 C2 2 /2或2 21 /2 将样本观察值代入（6.11 ）式计算出检验统计量 2的值后，就依下列规则作出统计判断：如果2落在C中，即22 /2或221 /2，就拒绝原假设而接受备择假设Ho ;如果 2的值不在C中，即2 /2221 /2则接
12、受原假设Ho而拒绝备择假设H 1 .例6.2.1某市在一次全市性的高中数学毕业会考后，准备用随机抽样方法对该次考试的结果进行统计分析，在确定抽样的样本容量时，标准差是一个重要参数依据以往经验，全市性数学考试成绩(分)的标准差是14.50 为了确认在这次考试中标准差是否有变化，所以先预抽了一个容量n 27的随机样本，样本观察值列于6.2 样本方差为S2134.487 .如果这次考试成绩是服从正态分布的，试在0.10的显著水平上，对这次考试成绩的标准差与以往经验是否相符作出统计推断.表6.2数学考试成绩857670685874907176779581877980929465847361728897
13、647553解根据题意，我们要检验的假设是Ho:14.50, H1 :14.50或等价地表示为2 2 2 2 H0:14.50 , H1 :14.50 .由于总体方差未知,所以我们用统计量2 Ls2 .因为显著水平为00.10，所以 1一0.95 .由已知有 200515.379,気538.8852所以假设检验的拒绝域为 C 2 2 15.37或 20.95 38.885S2 134.487,。14.5,n 27代 入统计量中得 2n一 S 2 旦V 134.48716.63 .因为计算0214.502出来的值不在拒绝域C中，所以我们接受原假设H。，即认为这次考试成绩的标准 差与以往经验相符.2 当样本容量较大，无法用分布表得到检验临界值时，可以用正态分布作近似来进行统计推断.此时检验统计量是Z/(6.12)M/2 n为样本标准差.式中由给定的显著水平，从标准正态分布表中查得Z，得到近似的拒绝域 C Z|Z 乙/2 根据样本观察值计1 算出（6.12 ）式定义的检验统计量Z的值后，依下述规则作出统计判断：如果Z的值落在C中，即|Z|乙门，就拒绝原假设Ho而接受备择假设Hi；如果Z的值不在C中，即|Z乙门则接受原假设Ho而拒绝备择假设Hi.2.2 两个正态总体方差之比的假设
