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1、第二类曲线积分的计算作者：钟家伟摘要:指导老师：张伟伟本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词:第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分1引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。1.1第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线 积分的定义。1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托
2、克斯公式计算的方法以及利用对 称性简化或计算的方法。2.1第二类曲线积分的物理学背景力场F(x,y) =(P(x, y) , Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功一质点受变力F(x, y)的作用沿平面曲线L运动，当质点从L之一端点A移动到另一端B时, 求力F(x, y )所做功W.大家知道，如果质点受常力F的作用从A沿直线运动到B，那末这个常力F所做功为W = AB .现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲怎么办呢？n 一1为此，我们对有向曲线L作分割T二A , A ,.,A , A0 1M ,M ,.,M ,与A = M ,B = M 一起把曲线分12n-10n成n
3、个有向小曲线段M M (i = 1, 2,A ,n)，记i-1i小曲线段M M的弧长为AS 则分割i-1 iiT = A , A ,.,A , A 的细度为 |T| = maxAS 0 1n-1 n1i n设力F(x, y)在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x, y) 与 Q(x, y)，那么 F(x, y)=(P(x, y),Q(x, y)二 P(x, y)F + Q(x, y) j由于M (x , y ), M (x , y ),i-1 i-1 i-1i i i则有向小曲线段M M (i = 1, 2,A , n)在x轴和y轴方向上的投影分别为 i-1 iAx = x 一 x 与 Ay =
4、 y 一 y .i 己 L=(Ax , Ay )从而力y)在小曲线段M M上所作i ii-i ii-1Mi-枫i ii-1 的功 w 沁 Fg,n )- L = p ,n )Ax + q ,n )AyiiMi-1Mii i i i i 1其中(E弭)为小曲线段M M上任一点，于是力 f)沿L所作的功可近似等于i ji-1 iW =工 w Q P(S ,n )Ax +Q(s ,n )Ay当|T| T 0时，右端积分和式的极限就是所求的功.iii i ii i ii =1i =1i=1这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.2.2第二型曲线积分的定义设P(x, y), Q(x, y)为
5、定义在光滑或分段光滑平面有向曲线L上的函数，对L任一分割ABABT,它把L 分成n个小弧段M M (i = 1, 2, A , n)；其中A = M , B = M 记各个小弧段ABi-1i0nM M弧长为As ,分割T的细度为|T| = maxAS ,又设T的分点的坐标为M (x , y ),并记i-1 ii .ii i i1z 0，也就有二dt，这样才有上述计 算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿1上的点由A变到B,即t的下限a对应曲线积分的起点A, 他的上限卩对应曲线积分的起点A, t的上限卩对应终点B。在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为
6、有些较简单的曲线可取x或y为参数，即可由直角坐标方程。例如，直线y二曲b，取可由直 角坐标方程得出参数方程。例如，直角y二aX + b，取x为参数，参数方程即为线段AB的参数方程为L (x 2 + y 2)ds = n( x 2 + (1-x)2)J2dx =AB03线段B的参数方程为12近12(1+QJ (x2 + y2)ds = +_ =丿333所以l333（2）这是第二类曲线积分。在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性问题。2.3利用格林公式计算第二类曲线积分设D是由分段光滑的曲线1围成的连通有界闭区域，函数P（兀y），Q（兀y）在其上有一阶连续
7、偏导 数，则有格林公式其中1取正向。A01A格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联 系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中， 在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个 计算曲线积分的例子。例2.用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分。解：显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式,这比例1中的解法简单一些。例3.计算第二类曲线积分其中1为从A （-2,0）到B（2,0）沿椭圆 + y2 = 1的上半部分的曲线。解：1不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x轴的线段B
8、A而成为封闭曲线。此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线 积分的计算转化为二重积分的计算。2.4利用对称性计算第二类曲线积分定理1设L为xoy平面上关于x轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数, 设为y = y（x）,（ a x b）。记L1，L2分别为L位于x轴的上半部分与下半部分，L1丄2分别在上 的投影方向相反，函数P（x，y）在L上连续，那么1）当p（x,y）关于y为偶函数时，则2）当P（x，y）关于为奇函数时，则证明：依定理条件不妨设Li： y = y(x)从点a变到点bL2： y二y(X)从点b变到点aJ P(x, y)dx = J P(
9、x, y)dx +J P(x, y)dx =于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有L人L2故1)当P(x, y)关于为偶函数时，有2)当P(x，y)位于为奇函数时，有注1对于lQ(x，y)dy有定理1的结论注2 定理1可用两句口诀来简言之，即“反g对g偶g零” “与反g对g奇g倍”。其中“反” 指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零” 指曲线积分的结果等于零。口诀“反g对g奇g倍”涵义类似解释。关于曲线积J LP( x，y )dx分还有另一个对称性的结论是定理2设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程为y二y(x)，( -a x ).于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有对右端第2个积分，令x = -t，有因此有故1)当P(x，y)在L上关于x为奇函数时，有2）当p（x，y
