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1、数列的概念及表示方法【知识点分析】1、数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的 项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项， 也叫做.首项一.排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作数列的一般形式 为a, a, a,，a，简记为a.123nn注意： 数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”也就是说构 成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数 在确定的位置. 项气与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序 号是指项在数列中的位置. a与a是不同概念：a表示数列a，a，a，a，
2、；而a表示数nnn123nn列a 中的第n项.n数列的简记符号a，不可能理解为集合a，数列的概念与集合概念的 区别如下表：数列集合示例区 别数列中的项是有序的，两 组相同的数字，按照不同 的顺序排列得到不同的 数列集合中的元素是无 序的如数列1,3,4与1,4,3是 不同的数列，而集合 1,3,4与1,4,3是相 等集合数列中的项可以重复出 现集合中的元素满足 互异性，集合中的 元素不能重复出现如数列1,1,1，每项都 是1，而集合则不可以2、数列的分类：1、以项数来分类：(1) 有穷数列：项数有限的数列(2) 无穷数列：项数无限的数列2、以各项的大小关系来分类：(1) 递增数列：对任意nN*
3、，总有an+1an (或an+1-an0)，即从第2 项起，每一项都大于它的前一项的数列(2) 递减数列：对任意nEN*，总有an+1an (或an+1-an 1,那么该数列为递增数列.（） a n例2、下列说法正确的是（）A. 数列 1,2,3,5,7 可表示为1,2,3,5,7B. 数列1,0,1,2与数列一2,1,0,1是相同的数列c.数列哼的第k项是1+k 11kD.数列0,2,4,6,8，可记为2n例3、下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）A.1，12,1 13，4,B.C.-1,1112，-4，-8,n 2 n 3 n sin? sin-，sin-,D. 1, .龙，&
4、 ，、例4、已知数列万竺，那么这个数列是（） 3n+1B.递减数列D.常数列A.递增数列C. 摆动数列例5、下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列?哪些是常数列？哪些是摆动数列?(1) 1,0 . 84, 0. 842,0 . 843，;(2) 2,4,6,8,10，；(3) 7,7,7,7,7,7，； 1 1 -1 -1(4) 3，9，27，81，(5) 0,0,0,0,0,0；(6) 0,- 1,2，一3，3、数列的表示数列的表示方法1、列表法2、图像法3、解析式法 通项公式 递推公式4、数列的通项公式如果数列气的第n项气与项数n之间的关系可以用一个公式表示，那么这
5、个公式叫做数列的通项公式.注意：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集为定 义域的函数表达式，即a=f(n).n已知数列的通项公式，依次用1,2,3,去替代公式中的n,就可以求出 这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第 几项.(3) 同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如精确到 1,0.1,0.01,的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示.(4) 有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如摆动数列：一1,1, 一1,1,一1,1，通项公式可以写成a = (-1)n,也可以写成a =nn-1, n为奇数1, n为偶数【例题】
6、例L数列一1, 5,24一.石，的通项公式可以是()9m+nA 气=(-1)n2n+1n n+3B. an=(-1)nF+八 , 八m+2nC.气=(-1)切Fn n+2D an=(-1)n g.例2、数列1,1,2,2,3,3,4,4,的一个通项公式是()B.a 二n1+(-1)+1 九+A.a =2n 2孔+1C.a 二n*,九为奇数， 2里刀为偶数2例3、已知数列气的通项公式气二log(n+1) (n+2),则它的前30项之积是()A. 5B. 5C. 6D. log23+l电132例4、已知在数列气 中, an=n2-kn(neN+),且气单调递增，则k的取值范围D.a 二n，旦刀为奇
7、数,2里,九为偶数2是()A.(-8,2B.(-8,3)C.(-8,2)D.(-8,3例5、写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项满足下列各数./八23412, 23, 34, 45, (2) 11,102,1003,10004，;(3) 9,99,999,9999，；5,92 -2，2,8,例6、已知数列气的通项公式为气=3e 28n.(1) 写出数列的第4项和第6项；(2) 49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. .一(10、n 一.一例7、已知数列an的通项公式是(+i)1J，试问该数列an有没有最 大项?若有，求出最大项和最大项的序号;若没有，请说明理由.反思
8、感悟：1. 根据数列的前几项写对应的通项公式的一般思路是：(1) 先统一项的结构,如都化成分数、根式等；(2) 分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与 对应序号间的函数关系式；(3) 对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(-1)k处理符号；(4) 对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期 函数，如三角函数等.2. 常见数列的通项公式如下：(1) 数列-1,1,-1,1,的通项公式是a = (-1)n;(2) 数列1,2,3,4,的通项公式是a=n；(3) 数列1,3,5,7,的通项公式是an=2n-1;(4) 数列2,4,6,8,的通项
9、公式是an=2n;(5) 数列1,2,4,8,的通项公式是an=2n-1;(6) 数列1,4,9,16,的通项公式是;(7) 数列1 111 .的涌项公式是 a二1 (7) 数列-一，,的通项公工是口;1 2 3 4n n(8) 数列1,3,6,10,的通项公式是气二典.5、数列的递推公式如果已知数列a的第1项(或前几项)，且任一项a与它的前一项a (或 nnn1前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.【例题】例1、判断对错1. 根据通项公式可以求出数列的任意一项.()2. 有些数列可能不存在最大项.()3. 递推公式是表示数列的一种方法.().531, 4
10、9, 67,试猜想 an+1 与 a”4. 所有的数列都有递推公式.()例2、已知数列a满足a =1, a =na (nN2)，则a n1n n1例3、已知数列a的前4项依次是：13,n的关系.例4、若数列气满足ai = 2, a.l+a =n,n+11一a求 a2 018.例5、根据递推公式求通项公式(1) 对于任意数列a ,等式：a + (a a) + (a a)+(a a )=a(nn12132n n1 nN2, neN+)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列气满足：当=1,气+1 a =2,求通项a ；(2) 若数列a 中各项均不为零，则有a 色戋a-=a (n2, neNn1 a1 a2an1n)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列a满足：a=1，A=土(n+n1 a nn1N2, neN+)，求通项气.
