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1、新版相似三角形与圆综合题汇编 相似三角形与圆的综合考题 1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G 求证：BGAG=DFDA 2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F 求证：DE为O的切线 求证：AB：AC=BF：DF 3、已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足 求证：ADE=B； 过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE 4、如图，AB为O的直径，BF切O于点B，AF交O于点
2、D，点C在DF上，BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE 直接写出AE与BC的位置关系； 求证：BCGACE； 若F=60，GF=1，求O的半径长 5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF 求证：PC是O的切线； 点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ 在的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 6、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF 求证：PC是O
3、的切线； 点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？ 在的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 7、如是O的直径，CB、CD分别切O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； 求证：AE是O的切线； 过点D作DFAB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF 8、已知：如图，AB是O的直径，D是O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE AC，垂足是点E过点B作BEAB，交ED延长线于点F，连结OF。 求证：EF是O的切线； OBFDEC。 9、如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O 切线，交OD的延长线于
4、点E，连结BE 求证：BE与O相切； 连结AD并延长交BE于点F，若OB6，且sinABC，求BF的长 10、如图，AB是O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。 求证：DE是O的切线； 若，求的值； 在的条件下，若O直径为10，求EFD的面积 11、已知：如图，在RtABC中，A=90，以AB为直径作O，BC交O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F 求证： DE为O的切线 ABDF=ACBF 12、如图，以ABC的边AB为直径的O与边BC交于点D，过点D作DEAC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分BAC 求
5、证：EF是O的切线； 若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积 13、知AB是O的直径，直线l与O相切于点C且，弦CD交AB于E，BFl，垂足为F，BF交O于G。 求证：CE2=FGFB； 若tanCBF=，AE=3，求O的直径。 14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E. 求证：AEBD； AD 2 = DFAE 15、已知：ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 16、如图，ABC中，AB = AC，O是BC上一点
6、，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CDBA，垂足为D. 求证：（1）DAC = 2B； （2）CA 2 = CDCO 相似三角形与圆的综合考题（教师版） 1、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G 求证：BGAG=DFDA 证明：连接BC，FC，CO， 过E作O的切线ED， DCF=CAD， D=D， CDFADC， =， CD2=ADDF， CGAB，AB为直径， BCA=AGC=BGC=90， GBC+BCG=90，BCG+GCA=90， GBC=ACG， BGCCGA，
7、=， CG2=BGAG， 过E作O的切线ED，OCDE， ADDE，COAD， OCA=CAD， AO=CO， OAC=OCA， OAC=CAD， 在AGC和ADC中， ， AGCADC（AAS）， CG=CD， BGAG=ADDF 2、已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F 求证：DE为O的切线 求证：AB：AC=BF：DF 3、已知：如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，DEAC，E为垂足 求证：ADE=B； 过点O作OFAD，与ED的延长线相交于点F，求证：FDDA=FODE 解：（1）方法一： 证明：连接OD， OA
8、=OD， OAD=ODA AB是O的直径， ADB=90，即ADBC 又AB=AC， AD平分BAC，即OAD=CAD ODA=DAE=OAD ADE+DAE=90， ADE+ODA=90，即ODE=90，ODDE OD是O的半径， EF是O的切线 ADE=B 方法二： AB是O的直径， ADB=90，又DEAC， DEA=90， ADB=DEA， ABC中，AB=AC，ADBC， AD平分BAC，即DAE=BAD DAEBAD ADE=B （2）证明：OFAD， F=ADE 又DEA=FDO（已证）， FDODEA FD：DE=FO：DA，即FDDA=FODE 点评：本题主要考查了切线的判定
9、、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明 4、如图，AB为O的直径，BF切O于点B，AF交O于点D，点C在DF上， BC交O于点E，且BAF=2CBF，CGBF于点G，连接AE 直接写出AE与BC的位置关系； 求证：BCGACE； 若F=60，GF=1，求O的半径长 解：（1）如图1， AB是O的直径， AEB=90 AEBC （2）如图1， BF与O相切， ABF=90 CBF=90-ABE=BAE BAF=2CBF BAF=2BAE BAE=CAE CBF=CAE CGBF，AEBC， CGB=AEC=90
10、CBF=CAE，CGB=AEC， BCGACE （3）连接BD，如图2所示 DAE=DBE，DAE=CBF， DBE=CBF AB是O的直径， ADB=90 BDAF DBC=CBF，BDAF，CGBF， CD=CG F=60，GF=1，CGF=90， tanF=CG=tan60= CG=， CD= AFB=60，ABF=90， BAF=30 ADB=90，BAF=30， AB=2BD BAE=CAE，AEB=AEC， ABE=ACE AB=AC 设O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r ADB=90， AD=r DC=AC-AD=2r-r=（2-）r= r=2+3 O的半径长为2+3 解
11、析： （1）由AB为O的直径即可得到AE与BC垂直 （2）易证CBF=BAE，再结合条件BAF=2CBF就可证到CBF=CAE，易证CGB=AEC，从而证到BCGACE （3）由F=60，GF=1可求出CG=；连接BD，容易证到DBC=CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=；设圆O的半径为r，易证AC=AB，BAD=30，从而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出O的半径长 5、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DEAB分别交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延长线上一点且PC=PF 求证：PC是O的切线； 点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2
12、=DEDF，为什么？ 在的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长 分析：（1）连接OC，证明OCP=90即可 （2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出 （3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明OGAOHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长 解答：（1）证明：连接OC PC=PF，OA=OC， PCA=PFC，OCA=OAC， PFC=AFH，DEAB， AHF=90， PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90， PC是O的切线 （2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEDF，理由如下： 连接AE 点D在劣弧AC中点位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD2=DEDF （3）解：连接OD交AC于G OH=1，AH=2， OA=3，即可得OD=3， DH=2 点D在劣弧AC中点位置， ACDO， OGA=OHD=90， 在OGA和OHD中， ， OGAOHD（AAS）， AG=DH， AC=4 点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可同时考查了相似三角形的性质及全等
