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1、Spin-orbit-coupling effects on the valence-band structure of strained semiconductor quantum wellsCalvin Yi-Ping Chao and Shun Lien ChuangDepartment of Electrical and Computer Engineering, University of Illinois摘要：找到一组将6X6 Luttinger-Kohn哈密顿量对角化为两个3X3块的酉变换，使得计算 量子阱能带时更有效。使用这些公式，系统的研究了应变量子阱中重空穴、轻空穴和自旋轨
2、 道分裂耦合。给出应变对k空间能量表面的影响，给出包含与不包含自旋轨道分裂能带的结 果。结果显示，自旋轨道分裂耦合对能带特别是高应变量子阱能态影响很明显，不能忽略。1. 简介应变可以是调整半导体能带参数的有力工具，在量子阱激光器，调制器，探测器等中有 重要的应用。例如对于应变量子阱激光器，应变使得量子阱价带带边在k=0处分裂，降低 平面有效质量，从而降低态密度，降低阈值电流。各向同性（静水力学的）应变改变带隙，各 向异性（单轴或切应变）使得价带在k=0处简并分离。应变导致重空穴、轻空穴、自旋轨 道分裂带额外的耦合，这些耦合在非应变量子阱计算中通常被忽略，但对于高应变量子阱， 忽略这些耦合将导致
3、计算能级误差几十个meV，有效质量误差高于30%。本文的目的就是 证明应变如何影响半导体价带能级，着重于重空穴、轻空穴、自旋轨道分裂带额外的耦合。 使用的公式基于Luttinger-Kohn哈密顿量和包络函数近似。以下第二部分研究应变体材料带 边能量公式和有效质量。第三部分结合应变和量子效应，集中讨论应变量子阱的能级计算， 在轴近似下，得到一组将6X6 Luttinger-Kohn哈密顿量对角化为两个3X3块的酉变换，由 这简单的哈密顿量，可以计算应变量子阱的能级。最后做讨论。2. 应变体半导体基于Luttinger-Kohn的理论，还有Bir和Pikus的，应变半导体的价带能级在包络函数空
4、间可以由以下6X6哈密顿量表示P + QSR0-沔ST2R:S tP Q0R-V2q阿SH =R t0P QS序s t很Q0R tStP + Q-72R t-所S t-jV2s t-w2Q即S-V2RP + A0；T2Rt辱S t整Q-知S0P + A /其中P = P + P Q = Q + Qk 8 k kR = R + R , S = S + S k 8k 8方2P = ()Y (k2 + k2 + k2),k 2m 1 x y z0力 2 , , ,Qk=(上 2(k： + k2kp,0R =(旦)*Y (k2-k2)+ 2iy kk ) k2m2 尤 y 3 X y0S =(里)2j
5、3y (k ik )k , k2m3 X y z0P = a (s + E + E ),8 v XX yy zzb -Qe”撰 xx +E yy - 28 zz)，3 一一R =b(88 ) id8 ,E 2 xx yyxy(2)S = d (e i8 ).其中波矢k被当作微分算符iA ；8 是对称应变张量；,丫2，丫3 是 Luttinger 参数;a， b和d是Bir-Pikus形变势（AEr-avlq +eyy +ej ，av是价带的静压形变势能；匚（z）=-b （ex +ey 2ez）/2，为切应变引起的能带偏移，其中b为四方对称应变时的应变势能）； 自旋轨道发生相互作用时，就会改变简
6、并度，能带发生分裂，并且使价带发生变化A。基函数| j,表示区中心Bloch波函数，这里非应变价带顶能量设为零。本文的中心任务是证明应变如何影响能带结构，包括带边和有效质量，这些是表征半导体材料最重要的参数。集中研究重空穴33、31T,5；，轻空穴-,;和自旋轨道分裂11 1 *入 .、，一 _-y,5，.；的耦合。对于大多数的IIIV族半导体材料，自旋轨道分裂带在重轻空穴带以下几百meV，而通常只需考究几十meV附近能带，所以自旋轨道分裂带的影响经常被忽略，这种 情况下，重、轻空穴能带近似由以下4X4哈密顿量表示H =P + QSRS tPQ0Rt0P Q E = , 0(7)其中k现在是实
7、际矢量，包络函数简化为平面波，对于4X4哈密顿量，方程(7)的解对于 重空穴和轻空穴分别简化为E (k) = P P sgn(Q J(Q + Q )2 +1R I2 + |S I2HH8k88kk1 k1E (k) = P P + sgn(Q )j(Q + Q )2 + |R |2 + |S |2(8)LH8k8、8k1 kk 1每个解是二度简并的。注意式中包含符号因子sgn(Q8)是很重要的，因为Q8可负(压应变) 可正(张应变)，而其平方根通常是正的。对于确定的有限的应变，上述色散关系对小的k 展开为，力2Ehh (k) n P Q (2m )(y 1 +y 2)k2 + (Y1 -2 2
8、)k2,0方2Eh(k) n P + Q8 (涂)(Y1 Y2)k2 + (Y1 + 2y2)k2(9)0其中k广k，k 口= ,：七2 + ky2，从上式可以直接得到带边能量以及平行于或垂直于xy平 面的有效质量Ehh()= - P Q，Eh (0) = -P+ Q8(10)m*1m*1m Y 2y m Y +Ym*1m*1_Hx =,Ha =.(11)m Y + 2ym Y - Y这就是众所周知的Hensel和Feher的结果。若分裂带被包含到6X6的哈密顿量中，则（7）式所决定的E-k关系变成关于E的6 阶多项式，显然，由于哈密顿量的对称性，它可以分解为两个一样的三次多项式。最终方程 （
9、7）简化为(12)(e (k)3 3人(幻 (k) - M) + A (幻2 一人(幻2 = 0, 其中,g (k) = E + P + Pk ，以f|2,日(幻二 2(。+Q)3+3Q|S y-6QR8 kkk3必(SaR +SR)(13)带边能量可以从（12）式设k=0求解得到E (0) = 一PQ, HH881E (0) = -P + - (2 - A + JA2 + 2A2 +9Q2)LH82YE (0) -P + (2 - A - hJasoE282 + 2AQ +90)8(14)在k=0处，哈密顿量H实际上简化为H (k = 0)=00000p-Qg g00-Qc00p-Q 030
10、80P8(P+Q0000P +A8000P +A8 y(15)显然，重空穴与其他能带不耦合，而轻空穴 D通过应变依赖非对角项和自旋轨道分裂1 1尸3的耦合，这一耦合在4X4近似中没有考虑，作为耦合的结果，对应于能量%（。）2 +F, jF2,F282=1的本征矢由下式决定AFf f 一F,32,1，2=E (0)3 2,1 2F. LHF：.71- 1 2,1 2L l;2,r 2 -18(P +Q 士国88i,V2e -p-aF.J2,+V2不是纯的轻空穴态，而是与自旋轨道耦合混合，耦合程度可以量化（百分比）。FIG. 1, The energy band gap of a bulk Ini
11、-uGaxAs vs the Ga mole fraction 尤，The dotted-dashed curve: unstrained IniGaAs; the solid curves: transition energies from the conduction baJid (C) to the heavy-hole (HH) and light-hole (LH) bands for a bulk Ini-GasAs pseudomorphically grown on InP; the dashed curve, the conduction to light-hole tran
12、sition energy calculated without the SO coupling-(aiue)FIG. 2r The percentages of the LH component (禺gd the SO component (国/%主“2) corresponding to the band-edge energy Elh(&) see Eq (16) for a bulk InjTGa=As on InP. This plot shows the straindependent coupling between the LH bnd and the SO band 批 k = 0-在有限k处能带混合更复杂，因为所有重空穴、轻空穴都耦合在一起，虽然写出(12) 式普遍的、近似形式的解是可能的，但是冗长的表达式掩盖了应变依赖关系的本质。实际上，我们可以求解k=0处的有效质量而不必求解三次方程。首先，对k,、七微分方程(12)并注意所有E(k)、人(k)和日(k)在k=0处的一阶微分为0,则得到E(k)成(0)心号队 + (S )0 产*() =ijij
