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1、 第 1 页 共 86 页 第 20 讲 图形的相似与位似 目 录 题型 01 成比例线段 题型 02 图上距离与实际距离 题型 03 利用比例的性质判断式子变形是否正确 题型 04 利用比例的性质求未知数的值 题型 05 利用比例的性质求代数式的值 题型 06 理解黄金分割的概念 题型 07 黄金分割的实际应用 题型 08 由平行线分线段成比例判断式子正误 题型 09 平行线分线段成比例（A 型）题型 10 平行线分线段成比例（X 型）题型 11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 题型 12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线 题型 13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线 题型
2、14 理解相似图形的概念 题型 15 相似多边形 第 2 页 共 86 页 题型 16 相似多边形的性质 题型 17 位似图形的识别 题型 18 判断位似中心 题型 19 根据位似的概念判断正误 题型 20 求两个位似图形的相似比 题型 21 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 题型 22 求位似图形的坐标 题型 23 求位似图形的线段长度 题型 24 在坐标系中求位似图形的周长 题型 25 在坐标系中求位似图形的面积 第 3 页 共 86 页 题型题型 01 01 成比例线段成比例线段 1（2022 广东湛江 岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（）A4，1，3，8 B3
3、，4，5，6 C4，8，3，5 D15，5，6，2【答案】D【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可【详解】解：A4:1 3:8，4，1，3，8 不是成比例线段，不符合题意；B 3:4 5:6，3，4，5，6 不是成比例线段，不符合题意；C4:8 3:5，4，8，3，5 不是成比例线段，不符合题意；D 15:5=6:2，15，5，6，2 是成比例线段，符合题意 故选：D【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段 a、b、c、d 满足:=:，则线段 a、b、c、d 成比例，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键 2（2022 浙江 统考一模）已知线段=5+1，=5 1，则 a，b 的比例中项线段等
4、于 【答案】2【分析】设线段 x是线段 a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之 第 4 页 共 86 页 积求解即可得出答案【详解】解：设线段 x是线段 a，b 的比例中项，=5+1，=5 1，=，2=(5+1)(5 1)=5 1=4，=2 0，=2舍去，故答案为：2【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若=，则是,的比例中项”是解本题的关键 3（2020 浙江绍兴 模拟预测）已知线段=3,=2,=4，则 b，a，c 的第四比例项=【答案】6【分析】根据题意，列出比例式，根据比例的基本性质，即可得出第四比例项【详解】解：根据第四比例项的概念，得=，=342=
5、6，故答案为：6【点睛】本题考查了比例线段，理解第四比例项的概念，一定要注意顺序熟练根据比例的基本性质进行计算 题型题型 02 02 图上距离与实际距离图上距离与实际距离 4（2022 吉林长春 统考模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为 100 平方厘米，图纸上某条边的长度为 5 厘米.经测量，这条边的实际长度为 20 米，则这块草坪的实际面积为 平方 第 5 页 共 86 页 米.【答案】160【分析】首先设这块草坪的实际面积是 xcm2，根据比例尺的性质，即可得方程100=(52000)2，解此方程即可求解【详解】解：设这块草坪的实际面积是 xcm2 根据题意得：10
6、0=(52000)2，解得：x=1600000，经检验，x=1600000 是方程的根，且符合题意，这块草坪的实际面积为：1600000cm2=160m2，故答案为：160【点睛】此题考查了比例尺的性质，相似图形的性质此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，注意统一单位 5（2019 辽宁抚顺 统考三模）已知 A、B两地的实际距离是 2000m，在地图上量得这两地的距离为 2m，这幅地图的比例尺为 【答案】1：1000【分析】根据比例尺的定义求解【详解】这幅地图的比例尺为 2：20001：1000 故答案为：1：1000【点睛】此题考查了比例线段，解题关键在于掌握其定义 6（202
7、0 江苏淮安 统考一模）在一张比例尺为1:20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积【答案】周长 480cm，面积 8000 cm2 第 6 页 共 86 页【分析】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算【详解】设实际周长是，则：24:=1:20，解得：=480()；面积之比等于相似比的平方，设实际面积是平方厘米，则：20:=(1:20)2，解得：=8000(2)【点睛】本题考查了比例线段，相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方 题型题型 03 03 利用比例
8、的性质判断式子变形是否正确利用比例的性质判断式子变形是否正确 7（2023 安徽亳州 统考模拟预测）如果2022=2023，则下列式子正确的是（）A2023=2022 B=20222023 C2022=2023 D2023=2022【答案】A【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解【详解】解：A由2022=2023，得2023=2022，则 A 正确，故 A 符合题意 B由2022=2023，得=20232022，则 B 错误，故 B 不符合题意 C由2022=2023，得2023=2022，则 C 错误，故 C 不符合题意 D由2022=2023，得2023=2022，则 D 错误，故 D
9、不符合题意 故选：A【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键 8（2021 上海嘉定 统考一模）如果实数 a，b，c，d满足=，下列四个选项中，正确的是（）第 7 页 共 86 页 A:=:B:=:C:=D2=2【答案】A【分析】根据比例的性质选出正确选项【详解】A 选项正确，+1=+1，:=:；B 选项，当+=0或+=0时，不成立；C 选项，当+=0时，不成立；D 选项不成立，例如：当12=24时，122224；故选：A【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质 9（2019 上海奉贤 校联考一模）已知线段 a、b，如果 a：b5：2，那么下列各式中一定
10、正确的是（）Aa+b7 B5a=2b C:=72 D:5:2=1【答案】C【分析】根据比例的性质判断即可；【详解】解：A、当 a10，b4 时，a：b5：2，但是 a+b14，故本选项错误，不符合题意；B、由 a：b5：2，得 2a5b，故本选项错误，不符合题意；C、由 a：b5：2，得:=72，故本选项正确，符合题意；D、由 a：b5：2，得:5:2=52，故本选项错误，不符合题意 故选：C【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键 题型题型 0 04 4 利用比例的性质求未知数的值利用比例的性质求未知数的值 10（2021 江苏盐城 统考二模）已知线段 a，b，c，其中 c 是
11、 a 和 b 的比例中项，a4，b9，则 c=（）第 8 页 共 86 页 A4 B6 C9 D36【答案】B【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出【详解】解：根据比例中项的概念，得2=36，=6，又线段不能是负数，6应舍去，取=6，故选：B【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项这里注意线段不能是负数 11（2021 江苏苏州 苏州市景范中学校校考一模）若:=2:3:7，且 +3=2，则 c 值为何？（）A7 B63 C212 D214【答案】C【分析】先设=2,=3,=7，再由 +3=2得出 x 的值，最后代
12、入=7即可【详解】解：设=2,=3,=7，+3=2，2 3+3=7 6，解得=32，=7 32=212，故选：C【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是根据题意设=2,=3,=7 12（2022 四川攀枝花 统考模拟预测）若（32x）：2（3+2x）：5，则 x 【答案】=914 第 9 页 共 86 页【分析】由两内项之积等于两外项之积进行求解即可【详解】解：由题意可得，2（32x）5（32x），解得 x914【点睛】本题考查了比例的性质，正确掌握内外项积的关系是解题的关键 13（2022 江苏淮安 统考一模）已知6=5=4，且+2=6，求值【答案】12【分析】直接利用已知比例式假设出 a
13、，b，c 的值，进而利用 a+b-2c=6，得出答案【详解】解：设6=5=4=，=6，=5，=4，+2=6，6+5 8=6，=2，=6=12，的值为12【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题的关键 题型题型 0 05 5 利用比例的性质求代数式的值利用比例的性质求代数式的值 14（2022 安徽合肥 校考二模）已知 a、b、c 为非零实数，且满足:=:=:=，则一次函数 ykx（1k）的图像一定经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【分析】此题要分+0和+=0两种情况讨论，然后求出 k，就知道函数图象经过的象限 第 10 页 共 86 页【详解】解：分
14、两种情况讨论：当+0时，根据比例的等比性质，得：=2(:):=2，此时直线是=2+3，过第一、二、三象限；当+=0时，即+=，则=1，此时直线是=，直线过第二、四象限 综上所述，该直线必经过第二象限 故选：B【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解题关键分情况求 k的值，能够根据 k，b的符号正确判断直线所经过的象限 15（2023 福建泉州 校联考模拟预测）已知=13，则:=【答案】14【分析】根据等式的性质，可用表示，根据分式的性质，可得答案【详解】解：由=13，得=3 :=:3=14，故答案为：14【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出=3是解题关键 16（2022 四川成都
15、统考二模）已知2=3=4 0，则:的值是 【答案】94【分析】根据2=3=4 0设 x=2k，y=3k，z=4k，把 x=2k，y=3k，z=4k 代入:，即可求出答案【详解】解：设 x=2k，y=3k，z=4k，所以:=23:3442=62:12282=18282=94，故答案为：94 第 11 页 共 86 页【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键 17（2021 山东滨州 统考三模）计算：(1)已知关于 x，y的多项式 axy3x22xybx2+y中不含二次项，求(a+b)2021的值(2)若3=4=5，求2;3:2232:2;2的值；(3)解分式方
16、程2;2+2;=2【答案】(1)1(2)2326(3)无实数解 【分析】（1）合并同类项，让二次项的系数为 0，求得 a,b的值，再求(a+b)2021；（2）设3=4=5=k，代入计算即可（3）去分母解分式方程，并验根即可；【详解】（1）axy3x22xybx2+y（3x2bx2）+（axy2xy）+y（3b）x2+（a2）xy+y 又关于 x、y的多项式 axy3x22xybx2+y 中不含二次项，3b0，a20，解得：b3，a2，则（a+b）2021（3+2）20211；（2）设3=4=5=k，x3k，y4k，z5k，2;3:2232:2;2 第 12 页 共 86 页=(3)2;334:2(5)23(3)2:234;(5)2 =92;362:502272:242;252 =2326（3）去分母得：2x2（x2），解得：x2，经检验：x2 不是原方程的解，故此分式方程无实数解【点睛】本题考查了整式的相关概念，比例性质及分式方程的解法，解题的关键运算法则的应用 题型题型 0 06 6 理解黄金分割的概念理解黄金分割的概念 18（2023 浙江嘉兴 统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数
