《中考数学二轮复习几何模型初中数学最值问题经典100题（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习几何模型初中数学最值问题经典100题（教师版）（88页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.如图3.1所示，在RtABC中，A=30，AB=4，点D为边AB的中点，点P为边AC上的动点，则PB+PD的最小值为（ ）A. B. A. A. 1.解 延长BC至点，使，连接、，如图4.1所示，AC垂直平分，AC平分.，为等边三角形.点P为AC上一点，当且仅当、P、D在同一直线上时，如图4.2所示，取得最小值.在中，故答案是C. 思路点拨:这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点P所在直线的两侧；根据“两点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可.拓展 若点D为边AB上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和60特殊角计算的长度；若点D是边AB上的一
2、动点，则将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处.2.如图3.2所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足，则点P到AB两点距离之和PA+PB的最小值为 .2.解 令点P到AB的距离为d.，点P为到AB距离为2的直线、上的点.直线、关于AB对称，因此选其中一条进行计算.作点B关于直线的对称点，连接、，如图4.3所示，当且仅当A、P、三点共线时取得最小值，如图4.4所示.在中，故的最小值是.思路点拨:这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点P的运动轨迹为直线（或称为“隐线”）；利用轴对称的性质，构造对称点，再运用线段公理获得不
3、等式；根据勾股定理计算最值.3.如图3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足，则的最大值为 .3.解 令点P到AB的距离为d.，点P在到AB距离为2的直线、上，如图4.5所示.作点E关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，连接EP，如图4.6所示，.当点P在直线上时，当且仅当D、P三点共线时取得最大值.当点P在直线上时，当且仅当D、E、P三点共线时取得最大值，如图4.7所示.在RtADE中，当点P为DE的延长线与直线的交点时有最大值.思路点拨:解法如题2，需要找出满足条件的点P所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两边之差小
4、于第三边，在共线时取得最大值，故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分别计算最大值并进行大小比较.特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟题中叙述点P时用的是“平面内”，而非“矩形内”.4.已知，则y的最小值为 .4.解 原式.建立平面直角坐标系，设，则AB在x轴的两侧，当A、P、B三点共线时，y值最小，.思路点拨:若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距离公式是平面直角坐标系中的勾股定理），则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型两点之间线段最短.5.已知，则y的最大值为
5、 .5.解 原式.建立平面直角坐标系，设，当A、P、B三点共线，即点P在AB延长线上时y值最大，.思路点拨:阅读题目时需观察清楚“”或“”，切不可盲目下笔.本题与题4形式相似，解法相近，但是又有所不同.将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等找到最大值.6如图3.4所示，在等腰RtABC中，BAC90，ABAC，BC4，点D是边AB上一动点，连接CD，以AD为直径的圆交CD于点E，则线段BE长度的最小值为 解：连接AE，取AC得中点F，连接EF，如图48所示AD是圆的直径AED90AEC90EFAC2点E的轨迹为以点F为圆心的圆弧（圆的定义）
6、BEBFEF当且仅当B、E、F三点共线时等号成立，如图49所示在RtABF中，AF2，AB4BF2，BFEF22思路点拨阅读题目时要找到三条关键信息：点E为圆周上一点，AD所对的圆周角是90，DEC是平角，连接AE后就找到了定弦定角（或斜边上的中线），若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧）因此判断出点E的轨迹是圆（不是完整的圆，受限于点D的运动范围）根据三角形的三边关系，知B、E、F三点共线时BE取得最小值7如图3.5所示，正方形ABCD的边长是4，点E是边AB上一动点，连接CE，过点B作BGCE于点G，点P时边AB上另一动点，则
7、PDPG的最小值为 解：取BC得中点F，连接GF，作点D关于AB的对称点D，连接DP、DA，如图4.10所示DPDPBGC90，点F为BC的中点GFBC2PDPGPDPGDG又DGGFDFPDPGGFDFGF如图411所示，当且仅当D、P、G、F四点共线时取得最小值根据勾股定理得DF2PDPG的最小值为22思路点拨不难发现BGC90是个定角，因此点G的轨迹为以BC为直径的圆（部分），可以通过斜边上的中线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解8如图3.6所示，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点E、F分别为边AD、DC上的点，且EF2，点G为EF的中点，点P为边BC上一动点，则PAPG的最小值
8、为 解：作点A关于BC的对称点A，连接AB、AP、DG，如图4.12所示PAPAPAPGPAPGADC90，EF2DGEF1PAPGDGADPAPGADDG如图413所示，当且仅当A、P、G、D四点共线时等号成立根据勾股定理得AD5PAPG的最小值为4思路点拨与题7的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段EF始终不变，线段EF所对的角为直角，因此斜边上的中线DG始终不变，从而判断出点G的轨迹图形为圆利用轴对称的性质将线段和最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解9在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且
9、m2n24，若点E为CD的中点，则ABBE的最小值为（ ）A3B4C5D25解：C(0，m)，D(n，0)，m2n24，CD24，CD2在RtCOD中，点E为CD的中点OE1，即点E在以O为圆心，1为半径的圆上作图414，连接OE，过点A作直线y2的对称点A，连接AB、AOA(3，4)ABBEABBEABBEEOEOAOEO如图4.15所示，当且仅当A、B、E、O四点共线时等号成立根据勾股定理得AO5ABBE的最小值为4思路点拨根据两点之间的距离公式m2n2CD2，得到CD的长度；由已知条件判断出OE为斜边上的中线，OECD（定值）；根据圆的定义可知点E的轨迹是以坐标原点为圆心、CD为半径的圆
10、；利用对称的性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题10如图3.7所示，AB3，AC2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为 解：以AB为边向上作等边ABE，连接DE，如图416所示ABBE，CBBD，ABCEBD60CBE在ABC和EBD中ABCEBD(SAS)DEAC2点D的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆AEEDADAEED如图417和图418所示，当且仅当A、E、D三点共线时取得最值1AD5思路点拨这样理解AB3，AC2这个条件：固定一边AB，CAB可以自由变化，因此点C的轨迹是以点A为圆心、2为半径的圆通过构造全等图形找出点D的运动轨迹利用圆外
11、一点到圆周上的距离最值来解决问题拓展 本题的解法较多，对于“定点动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法11.如图3.8所示，AB=3，AC=2，以BC为腰（点B为直角顶点）向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ； 解答：以AB为腰做等腰直角ABE（ABE=90），连接DE，如图4.19所示，AE=AB=3，ABC=EBD=90CBE，在ABC和EBD中ABCEBD（SAS）ED=AC=2点D的轨迹为以点E为圆心、2为半径的圆AEEDADAEED如图4.20和图4.21所示，当且仅当A，E，D三点共线时取得最值，32AD32思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形
12、找出点D的运动轨迹上，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题12. 如图3.9所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为 ，解答：以AB为底边构造等腰直角AEB（AEB=90），连接DE，如图4.22所示，AE=AB=2，EBA=CBD=45ABCEBDDE=AC=点D的轨迹为以点E为圆心、 为半径的圆AEEDADAEED如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值AD3思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构造相似图形，从而找出点D的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值
13、来解决问题13. 如图3.10所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为 ，解答：以AB为底边构造等腰直角AEB（AEB=90），连接DE，如图4.25所示，AE=AB=2，EBA=CBD=45ABCEBDDE=AC=点D的轨迹为以点E为圆心、 为半径的圆延长AE至点Q，使AE=EQ，连接PQ、BQ，AD=DP，DQ=2DE=2如图4.23和图4.24所示，当A、E、D三点共线时取得最值BE垂直平分AQ，AB=BQQAB=45，ABQ为等腰直角三角形，BQ=AB=4BQPQPBBQPQ如图4.26和图4.27所示，当B、P、Q三点共线时取得最值42PB42思路点拨：注意到点P的产生与中点有关，点P的运动与点D“捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断点P的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题14. 如图3.11所示，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到坐标原点O的距离的最大值和最小值的乘积为 ；解答：取
