《中考数学二轮重难点复习讲义专题74 圆中的新定义问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮重难点复习讲义专题74 圆中的新定义问题（解析版）（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 例题精讲【例1】如图，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接若AB1，则曲线CDEF的长是 4解：ABC是正三角形，CADDBEECF120，又AB1，AC1，BD2，CE3，CD弧的长度；DE弧的长度；EF弧的长度2；所以曲线CDEF的长为+24故答案为：4变式训练【变1-1】对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称圆形A被这个圆“覆盖”例如图中的三角形被一个圆“覆盖”如果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为 R1解：正六边形
2、的边长等于它的外接圆半径，边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为：R1故答案为：R1【变1-2】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和正实数k，给出如下定义：当ka2+b0时，以点P为圆心，ka2+b为半径的圆，称为点P的“k倍雅圆”例如，在图1中，点P（1，1）的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆（1）在点P1（3，1），P2（1，2）中，存在“1倍雅圆”的点是 P1该点的“1倍雅圆”的半径为 10（2）如图2，点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足MON30，试判断直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；（3）如图3，已知点
3、A（0，3），B（1，0），将直线AB绕点A顺时针旋转45得到直线l当点C在直线l上运动时，若始终存在点C的“k倍雅圆”，求k的取值范围；点D是直线AB上一点，点D的“倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）对于P1（3，1），圆的半径为ka2+b132+1100，故符合题意；对于P2（1，2），圆的半径为ka2+b112210，故不符合题意；故答案为P1，10；（2）如图1，过点M作MQON于点Q，则点M（0，m）（m0），则圆的半径r20+mm，则RtMQO中，MOQMON30，MQOMmm，直线O
4、N与点M的“2倍雅圆”的位置关系为相交；（3）过点B作BE直线l于点E，过点E作x轴的垂线交x轴于点G，交过点A与x轴的平行线于点F，设点E（x，y），将直线AB绕点A顺时针旋转45得到直线l，则EAB45，故EAEB，FEA+FAE90，GEB+FEA90，FAEGEB，AFEEGB90，EAEB，AFEEGB（AAS），EFBG，EGFA，即3y1x，yx，解得：x2，y2，故点E（2，2）；设直线l的表达式为ykx+b，则，解得，故直线l的表达式为yx+3，设点C（x，x+3），始终存在点C的“k倍雅圆”时，则圆的半径rkx2+x+30恒成立，k0且0成立，即k0且（）243k0，解得：
5、k；存在，理由：如图2，过点D作DHl于点H，由点A、B的坐标同理可得，直线AB的表达式为y3x+3，设点D（x，3x+3），由点A、D的坐标得，AD|x|，则HDAD|x|，则Rka2+bx2+3x+3（x+2）2，则|x+2|，假设存在以点D为圆心，为半径的圆与直线l有且只有1个交点，则DH|x+2|x|，解得：x1，故点D的坐标为：（1，0）【例2】我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（
6、1，0），半圆半径为2开动脑筋想一想，经过点D的“蛋圆”切线的解析式为_解：因为经过点D的“蛋圆”切线过D（0，3）点，所以设它的解析式为ykx3，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2，A（1，0），B（3，0），抛物线过点A、B，设抛物线的解析式为ya（x+1）（x3），又抛物线过点D（0，3），3a1（3），即a1，yx22x3又抛物线yx22x3与直线ykx3相切，x22x3kx3，即x2（2+k）x0只有一个解，（2+k）2400，k2即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为y2x3变式训练【变2-1】已知定点P（a，b），且动点Q（x，y）到点P的距离等于定长r，根
7、据平面内两点间距离公式可得（xa）2+（yb）2r2，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程已知一次函数的y2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的C的面积最小时，C的方程为 （x4）2+（y2）2（2）2解：一次函数的y2x+10的图象交y轴于点A，交x轴于点B，A（0，10），B（5，0），OA10，OB5，AB5，以OC为半径的C的面积最小，OCAB，SABOABOCOAOB，OC2，设C（t，2t+10），则OC2t2+（2t+10）2（2）2，解得：t1t24，C（4，2），以OC为半径的C的C的方程为（x4）2+（y2）2（2）2，故
8、答案为：（x4）2+（y2）2（2）2【变2-2】【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图，APB是点P对线段AB的视角【应用】（1）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为 30；（2）如图，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为4
9、5的位置拍摄现以建筑的中心为原点建立如图的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标解：（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CEx轴于点E，点，ABy轴，OE3，ABx轴，OD2，BOD60，COE30，BOCBODCOE30，即原点O对三角形ABC的视角为30过答案为：30（2）证明：如图，过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OAPA，OBPB，在中，OA2，OP4，OPA30，同理可求得：OPB30，APB60，即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60，圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值
10、（3）当在直线AB与直线CD之间时，视角是APD，此时以E（4，0）为圆心，EA半径画圆，交直线于P3，P6，DP3BDP3A45，AP6CDP6C45，不符合视角的定义，P3，P6舍去同理，当在直线AB上方时，视角是BPD，此时以A（2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足；过点P1作P1MAD交DA延长线于点M，则AP14，P1M523，当在直线CD下方时，视角是APC，此时以D（2，2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足；同理得：；综上所述，直线上满足条件的位置坐标或 1如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7叫做“正六
11、边形的渐开线”，其中，的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，当AB1时，l2011等于（）ABCD解：l1l2l3l4按照这种规律可以得到：lnl2011故选：B2已知线段AB，M经过A、B两点，若90AMB120，则称点M是线段AB的“好心”；M上的点称作线段AB的“闪光点”已知A（2，0），B（6，0）点M（4，2）是线段AB的“好心”；若反比例函数y上存在线段AB的“好心”，则k8；线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；若直线yx+b上存在线段AB的“闪光点”，则10b2上述说法中正确的有（）ABCD解：如图
12、1，A（2，0），B（6，0），点M（4，2），AMBM，ACCMBC2，ACM90，圆M经过A、B两点，且AMB90，点M（4，2）是线段AB的“好心”，故正确；若反比例函数y上存在线段AB的“好心”，90AMB120，i）点M在x轴上方时，当AMB90时，如图1，此时点M（4，2），即M在反比例函数y图象上，k248；当AMB120时，如图2，过点M作MCAB于C，AMMB，BAM30，AC2，CM，M（4，），M在反比例函数y图象上，k4，k8；ii）点M在x轴的下方时，同理可得8k，故不正确；线段AB的闪光点组成的图形如图3所示：所以线段AB的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中
13、心对称图形；故正确；当直线yx+b与上述两个大圆相切时属于临界状态，在两条切线范围内存在“闪光点”，如图4，设直线ykx+b与圆M相切于点P，则MP与之垂直，且线段BM是直径，B（6，0），M（4，2），P（2，4），代入yx+b得，2+b4，b2；设直线ykx+b与圆M相切于点H，则MH与之垂直，且线段AH是直径，A（2，0），M（4，2），P（6，4），代入yx+b得，6+b4，b10；综上可知，b的取值范围是10b2，故正确；所以上述说法中正确的有故选：B3我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的
