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1、第四节 对面积的曲面积分4.1 学习目的理解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算措施,会用曲面积分求某些几何量与物理量.4.2 内容提纲定义 设函数在光滑曲面上有界,将曲面任意提成n小块（也表达第小块曲面的面积)，在上任取一点，作乘积(),并作和，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲面的任一分法和点的任意取法，当时,上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 .【注】定义中的“”是面积元素，因此,.2.性质有关曲面具有可加性,若，且与没有公共的内点，则；当被积函数为1时,积提成果在数值上等于曲面的面积 ,即 3.对面积的曲面积分
2、的计算 设曲面由给出,在面上的投影区域为， 函数在上具有持续偏导数,被积函数在上持续，则.同样地,4对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点处的面密度是,则曲面的质量曲面的质心，.曲面的转动惯量 ，,.4.3 典型例题与措施基本题型I:计算对面积的曲面积分例1 填空题设，则.解 由积分区域的对称性知，于是而积分在上进行,代入上式得，故应填 例 选择题设,为在第一卦限中的部分，则有（ )(A）;();(）；(D）.解 由于曲面是上半球面,有关面对称且被积函数,都是变量的奇函数,于是.类似地，有关面对称且是变量的奇函数，于是 .而，故应选（C)事实上，由对称性,，(C)对的.【措施点击】在计算对面积
3、的曲面积分时,应注意下列技巧：（）运用对称性，但要注意,曲面有关某坐标面对称,被积函数有关相应变量具有奇偶性,两者缺一不可(2）运用积分曲面的方程化简被积函数.例3 计算曲面积分，其中是平面被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.解法一 .在平面上的投影是三角形,记为.解法二.【措施点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里,由于积分曲面是一种三角形，最后用到了三角形的面积公式.例4 计算,为立体的边界.【分析】根据积分曲面的方程，拟定投影区域,计算曲面面积微元,将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算解 设,为锥面,，在上,=，图1为上部分，在上,，在面的投影区域为,因此+.例5 计算
4、，其中为介于之间的部分.【分析】 积分曲面如图11-13所示,此积分为对面积的曲面积分，积分曲面有关面,面对称，被积函数是偶函数，则有=，故可运用对称性解之.解 设, 其在面的投影域为，=4.zyxo 图 4-2【注】该题不能将积分曲面向面作投影,由于投影为曲线,不是区域.基本题型I：对面积的曲面积分的应用例6 求物质曲面的质量，其面密度解 在平面上的投影区域.于是，所求质量为 例 试求半径为的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离.解 以球心为原点，铅锤直径为轴建立直角坐标系,则球面方程为，且任意点处的密度为设球壳的质心坐标为，由对称性知,.，其中为上半球面,，于是球壳的质
5、量为其中为在面上的投影域:.运用极坐标计算上述二重积分，得而故，于是半球壳的质心坐标为4.4 教材习题解答1. 有一种分布着质量的曲面,在点处它的面密度,用对面积的曲面积分表达这曲面对于轴转动惯量。解:假设在曲面上持续,应用元素法，在曲面上任取始终径很小的曲面块,设使曲面块内的一点,则由曲面块很小,的持续性可知,曲面块的质量近似等于，这部分质量可近似看作集中在点上，该点到轴的距离等于，于是曲面对于轴的转动惯量为:，因此转动惯量为:2.按对面积的曲面积分的定义证明公式 ,其中由和构成证明：由于在曲面上对面积的积分存在,因此不管把曲面如何分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面时,可以永远把和的边界
6、曲线作为分割线，从而保证整个位于上，于是上的积分和等于上的积分和加上上的积分和,即令各小块的直径的最大值趋向于,去极限得到：3.当时面内的一种闭区域时,曲面积分和二重积分有什么关系。解：当时面内的一种闭区域时,在上的投影区域即为，上的恒为，并且,因此,即曲面积分与二重积分相等。4 计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分，分别如下:(2）; （3)解（2)=,其中为在面上的投影区域,即.于是=.(3). 5. 计算，其中是：(1)锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.(2）锥面被平面和所截部分。 解 （1)设中属于锥面部分为,上底面部分为,而与在面上的投影区域均为 ,因此 = （2)所截的锥面为:, 因此6.计算下列对面积的曲面积分：（）,其中为平面在第一卦限中的部分.解 ,()，其中为平面在第一卦限中的部分解 ， （3），其中为球面上的部分.解 , （4),其中为锥面被柱面所截得的有限部分.解 .求抛物面壳的质量，此壳的面密度为解 , .求面密度为的均匀球壳对于轴的转动惯量解 由公式
