《人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）（解析版）（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.7空间向量与立体几何（六个混淆易错点）易错点1对空间向量的运算理解不清1在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（）ABCD【答案】A【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.【详解】解：如图所示，因为，可得平面，直线，当最短时，平面，且，所以为的中心，为的中点，如图所示，又由正四面体的棱长为1，所以，所以，因为平面，所以，所以中，所以故选：A2下列命题中正确的个数是（）若与共线，与共线，则与共线向量，共面，即它们所在的直线共面如果三个向量，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组
2、，使得若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底A0B1C2D3【答案】B【分析】举例，判断，由向量共面的定义判断，由空间向量基本定理判断，由共面向量定理和空间向量基本定理判断【详解】当时，与不一定共线，故错误；当，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，故错误；由空间向量基本定理知正确；当，不共线且时，共面，故错误故选：B3以下命题：若，则存在唯一的实数，使得；若，则或；若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；一定成立.则其中真命题的个数为（）A4B3C2D1【答案】C【分析】由共线向量的基本定理判断；由数量积判断；由基底的概念判断；由数量积的性质判断【详解】
3、对于：根据共线向量的基本定理， 的充要条件是存在唯一的实数，使得，其中；这里没有限制，所以错误；对于：，若，则，即只要在上的投影与在上的投影相等即可，故错误；对于：若为空间的一个基底，则不共面，则也不共面，则构成空间的另一个基底，故正确；对于：因为，所以，故正确；所以正确的有2个，故选：C4下面四个结论正确的个数是（）空间向量，若，则；若空间四个点P，A，B，C，则A，B，C三点共线；已知向量，若，则为钝角；任意向量满足A4B3C2D1【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可【详解】对于，因，则，正确；对于，因，则，即，即A、B
4、、C三点共线，正确；对于，10x-3，若为钝角，则，且与不共线，由得，当时，即，由与不共线得，于是得当且时，为钝角，错误；对于，是的共线向量，而是的共线向量，错误，综上可知，正确.故选：C5（多选）给出下列命题，其中正确的是（ ）A若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则【答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。【详解】对于A, 不共面，则不共面
5、，所以也是空间的一个基底，故正确；对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；对于C，由可得，即,所以A，B，C三点共线，故正确；对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.故选：ACD6（多选）下列命题中正确的是（）A是，共线的充分条件B若，则C，三点不共线，对空间任意一点，若，则，四点共面D若，为空间四点，且有（，不共线），则是，三点共线的充分不必要条件【答案】AC【分析】由，可得向量，的方向相同，得向量，共线，从而判断出A；根据向量平行概念判断选项B；根据向量共面条件判断出C；根据共线向量定理判断出D【详解】由，可得向量，的方向相同，此时向量，共线，所以A正确；若，则或A，B，四点
6、共线，所以B不正确；由A，三点不共线，对空间任意一点，若，则，即有，四点共面，故C正确；若，为空间四点，且有（，不共线），当时，即可得，即，所以，三点共线，反之也成立，即是A，三点共线的充要条件，所以D不正确，故选：AC7在正四面体中，分别是，的中点设，(1)用，表示，；(2)求证：；(3)求证：，四点共面 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意可得，由向量的减法可得答案.（2）求出，由，从而可证.（3）用向量分别表示出，从而可得，从而可证.【详解】（1），分别是，的中点，则且所以，分别是，的中点，则且（2）证明：设四面体的棱长为，则向量两两之间的夹角均为 则，故
7、；（3），从而，四点共面易错点2忽略条件导致建系错误8如图，在直四棱柱中，.点在棱上，平面与棱交于点.(1)求证：；(2)若与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)点为棱的中点.【分析】（1）利用条件可证，进而利用线面垂直的判断定理可得平面，即证；（2）利用坐标法，利用线面角的向量求法可得，然后利用向量共面的向量表示可求即得.【详解】（1）在直四棱柱中，平面，因为平面，所以，连接，因为，所以，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）以为坐标原点，分别为，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，设，易知平面的法向量为，则，解得，则，设，则，解得，即点
8、为棱的中点.9如图，在三棱柱中，平面，分别为，的中点，(1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；(2)求的余弦值【答案】(1)，；坐标系见解析(2)【分析】（1）根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;（2）根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.【详解】（1）因为，平面，所以平面又平面，平面，所以，又，所以，所以直线，两两垂直，以E为坐标原点，以，为轴建立如图所示的空间直角坐标系易得，所以点D、G的坐标分别为， （2）因为，所以，在中，即的余弦值为10如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标【答案】答案见解析【分析
9、】取的中点，的中点，由面面垂直性质可得平面，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标.【详解】取的中点，连接，为正三角形，；在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，取的中点，则，又平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，.11如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，已知，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标【答案】答案见解析【分析】侧面而与不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用三角函数和余弦定理求出各边的长度，得各个点的坐标.【详解】在平面上过点作垂直的
10、直线，与相交于点，如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，侧面，侧面，又，平面，平面，平面，则，设，则，中，由余弦定理，中，由余弦定理，中，解得或，为棱上异于的一点，所以，则有.12在平行六面体中，底面是矩形，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 【答案】答案见解析【分析】取的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，两两垂直，则以为坐标原点，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.【详解】解：取的中点E，连接OE，在矩形中，是中点，所以，则，由题可知平面，所以OD，OE，两两垂直，如
11、图，以为坐标原点，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，因为，且，所以，则O，E，A，D四点共面，平面xOz，x轴，z轴，.13如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标【答案】答案见解析【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可求得各点坐标.【详解】四边形为正方向，由题意知：平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，.14如图，在三棱柱中，平面平面，且，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标【答案】答案见解析【分析】在平面取一向量，由已知条件可证
12、，OA，OB两两垂直，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.【详解】已知平面平面，在平面取一向量，由于平面平面，所以平面，又，所以，OA，OB两两垂直，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示因为，所以到z轴的距离为，三棱柱的高为，则，.易错点3证明线面平行垂直时出现混乱15设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（）ABCD或【答案】D【分析】依题意可得，即可判断.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，或.故选：D16设直线的方向向量为，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（）ABCD或【答案】
13、C【分析】根据线面垂直的向量法即可判断.【详解】依题意，所以，因此，即，又，所以故选：C17（多选）在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（）A平面B平面C平面平面D点E到平面的距离为【答案】ACD【分析】检验所给定的正方体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABC；求出点到平面距离判断D作答.【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，对于A，显然，即平行于平面，而平面，因此平面，A正确；对于B，即有不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，B错误；对于C，而，显然，即平面，于是平面，而平面，因此平面平面，C正确；对于D，设平面的一个法向量，则，令，得，又，所以点E到平面的距离，D正确.故选：ACD18如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，垂足为A，点M在棱PD上，平面ACM(1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得平面PBD？【答案】(1)点M为PD中点(2)(3)点E为PC中点【分析】（1）设，则O这BD的中点，设点M为PD中点，在PBD中，由此能够确定M的位置使平面ACM（2）设，则，由底面ABCD是
