《人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.7空间向量与立体几何(六个混淆易错点)(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题1.7空间向量与立体几何(六个混淆易错点)(解析版)(60页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.7空间向量与立体几何(六个混淆易错点)易错点1对空间向量的运算理解不清1在棱长为1的正四面体中,点满足,点满足,当线段、的长度均最短时,()ABCD【答案】A【分析】根据题意得到平面,直线,从而求得最短时,得到为的中心,为的中点,求得的长,结合向量的运算公式,即可求得的值.【详解】解:如图所示,因为,可得平面,直线,当最短时,平面,且,所以为的中心,为的中点,如图所示,又由正四面体的棱长为1,所以,所以,因为平面,所以,所以中,所以故选:A2下列命题中正确的个数是()若与共线,与共线,则与共线向量,共面,即它们所在的直线共面如果三个向量,不共面,那么对于空间任意一个向量,存在有序实数组
2、,使得若,是两个不共线的向量,而(且),则是空间向量的一组基底A0B1C2D3【答案】B【分析】举例,判断,由向量共面的定义判断,由空间向量基本定理判断,由共面向量定理和空间向量基本定理判断【详解】当时,与不一定共线,故错误;当,共面时,它们所在的直线平行于同一平面,或在同一平面内,故错误;由空间向量基本定理知正确;当,不共线且时,共面,故错误故选:B3以下命题:若,则存在唯一的实数,使得;若,则或;若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底;一定成立.则其中真命题的个数为()A4B3C2D1【答案】C【分析】由共线向量的基本定理判断;由数量积判断;由基底的概念判断;由数量积的性质判断【详解】
3、对于:根据共线向量的基本定理, 的充要条件是存在唯一的实数,使得,其中;这里没有限制,所以错误;对于:,若,则,即只要在上的投影与在上的投影相等即可,故错误;对于:若为空间的一个基底,则不共面,则也不共面,则构成空间的另一个基底,故正确;对于:因为,所以,故正确;所以正确的有2个,故选:C4下面四个结论正确的个数是()空间向量,若,则;若空间四个点P,A,B,C,则A,B,C三点共线;已知向量,若,则为钝角;任意向量满足A4B3C2D1【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可【详解】对于,因,则,正确;对于,因,则,即,即A、B
4、、C三点共线,正确;对于,10x-3,若为钝角,则,且与不共线,由得,当时,即,由与不共线得,于是得当且时,为钝角,错误;对于,是的共线向量,而是的共线向量,错误,综上可知,正确.故选:C5(多选)给出下列命题,其中正确的是( )A若是空间的一个基底,则也是空间的一个基底B在空间直角坐标系中,点关于坐标平面yOz的对称点是C若空间四个点P,A,B,C满足,则A,B,C三点共线D平面的一个法向量为,平面的一个法向量为.若,则【答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A,由点关于坐标面的对称判断B,由向量的运算确定三点共线可判断C,根据向量共线求参数可判断D。【详解】对于A, 不共面,则不共面
5、,所以也是空间的一个基底,故正确;对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是,故错误;对于C,由可得,即,所以A,B,C三点共线,故正确;对于D,由平面平行可得,所以,解得,故正确.故选:ACD6(多选)下列命题中正确的是()A是,共线的充分条件B若,则C,三点不共线,对空间任意一点,若,则,四点共面D若,为空间四点,且有(,不共线),则是,三点共线的充分不必要条件【答案】AC【分析】由,可得向量,的方向相同,得向量,共线,从而判断出A;根据向量平行概念判断选项B;根据向量共面条件判断出C;根据共线向量定理判断出D【详解】由,可得向量,的方向相同,此时向量,共线,所以A正确;若,则或A,B,四点
6、共线,所以B不正确;由A,三点不共线,对空间任意一点,若,则,即有,四点共面,故C正确;若,为空间四点,且有(,不共线),当时,即可得,即,所以,三点共线,反之也成立,即是A,三点共线的充要条件,所以D不正确,故选:AC7在正四面体中,分别是,的中点设,(1)用,表示,;(2)求证:;(3)求证:,四点共面 【答案】(1),(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由题意可得,由向量的减法可得答案.(2)求出,由,从而可证.(3)用向量分别表示出,从而可得,从而可证.【详解】(1),分别是,的中点,则且所以,分别是,的中点,则且(2)证明:设四面体的棱长为,则向量两两之间的夹角均为 则,故
7、;(3),从而,四点共面易错点2忽略条件导致建系错误8如图,在直四棱柱中,.点在棱上,平面与棱交于点.(1)求证:;(2)若与平面所成角的正弦值为,试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析;(2)点为棱的中点.【分析】(1)利用条件可证,进而利用线面垂直的判断定理可得平面,即证;(2)利用坐标法,利用线面角的向量求法可得,然后利用向量共面的向量表示可求即得.【详解】(1)在直四棱柱中,平面,因为平面,所以,连接,因为,所以,所以,又因为,平面,所以平面,因为平面,所以.(2)以为坐标原点,分别为,轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则,设,易知平面的法向量为,则,解得,则,设,则,解得,即点
8、为棱的中点.9如图,在三棱柱中,平面,分别为,的中点,(1)试建立空间直角坐标系,并写出点,的坐标;(2)求的余弦值【答案】(1),;坐标系见解析(2)【分析】(1)根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;(2)根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.【详解】(1)因为,平面,所以平面又平面,平面,所以,又,所以,所以直线,两两垂直,以E为坐标原点,以,为轴建立如图所示的空间直角坐标系易得,所以点D、G的坐标分别为, (2)因为,所以,在中,即的余弦值为10如图所示,正三棱柱的所有棱长都为,为的中点请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标【答案】答案见解析【分析
9、】取的中点,的中点,由面面垂直性质可得平面,以为坐标原点可建立空间直角坐标系,根据长度关系可得各点坐标.【详解】取的中点,连接,为正三角形,;在正三棱柱中,平面平面,平面平面,平面,平面,取的中点,则,又平面,平面,以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,则,.11如图,在三棱柱中,侧面,为棱上异于的一点,已知,请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标【答案】答案见解析【分析】侧面而与不垂直,原图没三条两两垂直直线,此时在平面上过点作垂直的直线,与相交于点,则三线两两垂直,可建立空间直角坐标系,利用三角函数和余弦定理求出各边的长度,得各个点的坐标.【详解】在平面上过点作垂直的
10、直线,与相交于点,如图所示,以为原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,所以,侧面,侧面,又,平面,平面,平面,则,设,则,中,由余弦定理,中,由余弦定理,中,解得或,为棱上异于的一点,所以,则有.12在平行六面体中,底面是矩形,平行六面体高为,顶点在底面的射影是中点,设的重心,建立适当空间直角坐标系并写出点的坐标. 【答案】答案见解析【分析】取的中点E,连接OE,由题意可证OD,OE,两两垂直,则以为坐标原点,方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,即可写出各点坐标.【详解】解:取的中点E,连接OE,在矩形中,是中点,所以,则,由题可知平面,所以OD,OE,两两垂直,如
11、图,以为坐标原点,方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,因为,且,所以,则O,E,A,D四点共面,平面xOz,x轴,z轴,.13如图所示,已知平行六面体的底面为边长为的正方形,分别为上、下底面的中心,且在底面上的射影是,且请建立适当空间直角坐标系,并求点的坐标【答案】答案见解析【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系,根据长度关系可求得各点坐标.【详解】四边形为正方向,由题意知:平面,以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示空间直角坐标系,则,.14如图,在三棱柱中,平面平面,且,请建立适当空间直角坐标系,并求各个点的坐标【答案】答案见解析【分析】在平面取一向量,由已知条件可证
12、,OA,OB两两垂直,以O为原点,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,即可写出各点坐标.【详解】已知平面平面,在平面取一向量,由于平面平面,所以平面,又,所以,OA,OB两两垂直,以O为原点,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示因为,所以到z轴的距离为,三棱柱的高为,则,.易错点3证明线面平行垂直时出现混乱15设直线的方向向量为,平面的法向量为,若,则()ABCD或【答案】D【分析】依题意可得,即可判断.【详解】直线的方向向量为,平面的法向量为且,即,或.故选:D16设直线的方向向量为,为平面的三点,则直线与平面的位置关系是()ABCD或【答案】
13、C【分析】根据线面垂直的向量法即可判断.【详解】依题意,所以,因此,即,又,所以故选:C17(多选)在棱长为1的正方体中,E,F分别是AB,BC中点,则()A平面B平面C平面平面D点E到平面的距离为【答案】ACD【分析】检验所给定的正方体,建立空间直角坐标系,利用空间位置关系的向量证明判断ABC;求出点到平面距离判断D作答.【详解】在棱长为1的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,则,对于A,显然,即平行于平面,而平面,因此平面,A正确;对于B,即有不垂直于,而平面,因此不垂直于平面,B错误;对于C,而,显然,即平面,于是平面,而平面,因此平面平面,C正确;对于D,设平面的一个法向量,则,令,得,又,所以点E到平面的距离,D正确.故选:ACD18如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,底面ABCD,垂足为A,点M在棱PD上,平面ACM(1)试确定点M的位置;(2)计算直线PB与平面MAC的距离;(3)设点E在棱PC上,当点E在何处时,使得平面PBD?【答案】(1)点M为PD中点(2)(3)点E为PC中点【分析】(1)设,则O这BD的中点,设点M为PD中点,在PBD中,由此能够确定M的位置使平面ACM(2)设,则,由底面ABCD是