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1、四边形讲义一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四 边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形， 三角形中位线，梯形中位线多边形：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。凸边形：一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁, 这样的多边形叫做凸边形。1 .四边形的内角和与外角和疋理：A(1) 四边形的内角和等于360;厂rD(2) 四边形的外角和等于360 ./BC2.多边形的内角和与外角和疋理：/(1) n边形的内角和等于(n-2)180 ;Td(2) 任意多边形的外
2、角和等于360 .VBC#3.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的性质：(1两组对边分别平行; (2)两组对边分别相等; 因为四边形ABCD是平行四边形二(3)两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分；(5) 邻角互补4.平行四边形的判定：(1两组对边分别平行(2) 两组对边分别相等(3) 两组对角分别相等、ABCD是平行四边形(4) 一组对边平行且相等(5) 对角线互相平分5.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线的距离.平行线间的距离处处相等 平行四边形的面积：Sabcd =BC AE=CD BFF同底(等底)同
3、高(等高)的平行四边形面积相等图2FABCDSBCFE 中心对称图形，对称中心是对角线的交点。(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积.6.矩形的判定:(1) 平行四边形 一个直角(2) 三个角都是直角戸 四边形ABCD是矩形.(3) 对角线相等的平行四边形DC(4)矩形是轴对称、中心对称图形.矩形面积二长X宽7.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：因为ABCD是菱形(1具有平行四边形的所 有通性；二(2)四个边都相等；(3)对角线垂直且平分对角.C8.菱形的判定:(1) 平行四边形 一组邻边等
4、(2) 四个边都相等u四边形ABCD是菱形.(3) 对角线垂直的平行四边形”菱形是轴对称、中心对称图形.(5)菱形面积=底高=对角线乘积的一半C9.正方形：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 正方形的性质：因为ABCD是正方形(1具有平行四边形的所 有通性；=(2)四个边都相等，四个 角都是直角；(3)对角线相等垂直且平分对角.(1)(2) (3)(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴.(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形.如上方右图(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等.b2正
5、方形的面积：若正方形的边长为 a，对角线长为b，则S二a2 = b210. 正方形的判定:一个直角(1) 平行四边形 一组邻边等(2) 菱形一个直角(3) 矩形 一组邻边等=四边形ABCD1正方形 ABCD是 矩形又 AD=AB四边形ABCD是正方形(2) 判定正方形的一般顺序: 先证明它是平行四边形; 再证明它是菱形(或矩形)； 最后证明它是矩形(或菱形).11. 梯形：只有一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 等腰梯形的性质：(1)两底平行，两腰相等; 因为ABCD是等腰梯形= (2)同一底上的底角相等(3)对角线相等.12.等腰梯形的判定：(1)梯形两腰相等梯形+底角相等四边
6、形ABCD1等腰梯形(3)梯形十对角线相等A (3) DV ABCD1 梯形且 AD/ BC/x ac=bdh ABCD四边形是等腰梯形bC轴，一底的垂(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称 直平分线是它的对称轴.(5).梯形的面积1(1)S梯形abcd=2(CD+AB)，DE .（2）梯形中有关图形面积： S摩bd = S舌ac . S出OD = Sbc . S出DC = S舌CD .探13.梯形中常见的辅助线：ADADADADr 厂c 二BECBC B EFCBC1Er J iiADAD、rADAF D，中戶 V/ BCEBBCBGC14.三角形中位线定义：连 接三角形两边中点的线段叫
7、做三 角形的中位线。（三角形有三条中 位线） 三角形中位线定理：（性质）三角形的中位线平行第三边， 并且等于它的一半.A占BC15.梯形中位线定义：连接 梯形两腰中点的线段，叫做梯形的 中位线。（梯形的中位线有且只有 一条） 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并 且等于两底和的一半.DCA* B二.中心对称图形：（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 .（2）中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分轴对称图形中心对称图形有一条对称轴一一直线有一个对称中心点沿
8、对称轴对折绕对称中心旋转180对折后与原图形重合旋转后与原图形重合如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做 对称轴 这时,我们也说这个图形关于这条直线对称(3) 中心对称的有关定理 关于中心对称的两个图形是全等形.探2.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平DC探3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分,E那么这两个图形关于这 一点对称.b三.常识：若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：n (n 3)22. 规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3. 如图：平行四边形、矩形、菱形、正方
9、形的从属关系 .4. 常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、 菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线段有两条对称轴.n边形的的性质：(1) n边形的内角和等于(n-2)180 .(2) 任意多边形的外角和等于360(3) n边形共有 凹 3)条对角线2(4) 在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。(5) 正多边形的每个内角等于(n 一2).180n5. 四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角.6. 顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形顺次连
10、接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形， 如矩形、等腰梯形或图二中图形等。顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形， 如菱形或图三中图形等。顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。证明类题型：1、在 ABCD中，E、F分别是AB CD上的点，且 AE= CF求证：BF/ DEDE/ AC CE/ BD,2、菱形ABC啲对角线交于0点, 求证：四边形OCE是矩形。3、如图，梯形 ABCD中 AD/ BCAC的中点。求证：MN和PQ互相平分DAEN P、Q分别为AD BCBD4.已知：如图，平行四边形 ABCD的四个内
11、角的平分线分别相交于点四6.如图所示，已知菱形 ABCD中 E在BC上明 BE=AM边形EFGH是矩形。5.如图，在矩形ABC冲，对角线AC BD相交于点0,（ 1），画出 AOB平移后的三角形，其 平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段 AD的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。7. 已知：如图， ABC中，/ BAC的平分线交 BC于点D, E是AB上一点，且 AE=AC EF/ BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形8如图，平行四边形 ABCD勺对角线AC的垂直平分线与AD BC AC分别交于点E、F、0,求证：四边形AFCE
12、是菱形9. 已知：如图，C是线段BD上一点， ABCPECD都是等边三角形，R、F、G H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形 RFGH是菱形。10. 如图，已知在 ABC中, AB=AC Z B, / C的平分CE相交于点 M DF/ CE, EG/ BD DF与EG交于N, 四边形MDN是菱形。线BD求证：#11.已知：如图所示,求证：四边形EFGH为矩形。13、如图，正方形 ABC冲，过D做DE/ AC, / ACE=30,CE交AD于点F,求证:AE= AF;14、如图，在/ ABC中，/ BAC =90 , ADL BC 于 D, CE 于G,交AB于E, EFL BC于F,
13、求证：四边形 AEFG是菱ADC平分/ ACB形；交ADABCD为菱形，通过它的对角线的交点 0作AB BC的垂线，与AB BC；12.如图，菱形ABCD勺边长为2, BD= 2, E、F分别是边AD, CD上的两个动点，且满足 AE+ CF= 2.求证： BDEA BCF(2)判断 BEF的形状，并说明理由； 设厶BEF的面积为S,求S的取值范围.15、如图，正方形 ABC冲，F在CD上，AE平分/ BAF E为BC中点，求证：AF = BC + CFE16、已知 ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，CD平分/ BCA交EF 于 D,求证：ADL DC17、如图所示，以 ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角 形厶ABD BCE ACF猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.18、已知：P是正方形ABCD寸角线BD上一点，PE! DC，PFL BC，E、F分别为垂足. 求证：AP=EF.A19、如图, ABC为等边三角形，D F分别为BC AB上的点，
