函数图像与变换

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1、函数图像与变换一、目标定位1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力二、知识梳理1描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。2描点法：通过 、 、 三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。3函数图象变换：平移变换： 水平平移： 如，把函数的图象，沿 轴方向向 ()或向 ()平移个单位，就得到的函数图象。 竖直平移：如

2、，把函数的图象沿 轴方向向 ()或向 ()平移个单位，就得到的函数图象。 对称变换： 如，其函数图象与函数的图象关于 对称； 如，其函数图象与函数的图象关于 对称； 如，其函数图象与函数的图象关于 对称；如，其函数图象与函数的图象关于 对称。 翻折变换： 形如，将函数的图象在轴下方沿x轴翻到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留在轴以上部分，为函数的图象；形如，将函数的图象在轴右边沿轴翻到轴左边部分替代原轴左边部分并保留在轴右边部分，为函数)的图象。伸缩变换： 形如 ()，将函数的图象 得到。形如()，将函数的图象 得到。三、课堂互动知识点1： 函数的图象变换函数的图象变换这一节的知识点是高考考查的

3、重要方面，一些复杂的函数是可以通过一些较为简单的函数由相应的变换得到，从而我们可以利用之研究函数的性质。【例题1】（1）设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为_（2）要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到（3）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_巩固练习（1）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于_对称 【例题2】已知f(x+199)=4x4x+3(xR)，那么函数f(x)的最小值为_巩固练习设函数y=f(x)

4、的定义域为，则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为( )、直线y=0对称 、直线x=0对称 、直线y=1对称 、直线x=1对称知识点2 函数图象的画法以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换。【例题3】画出下列函数的图象（1） （2） （3） 巩固练习 ； 【例题4】

5、作出下列函数的图象（1）y=|x-2|(x1) （2）巩固练习 画出下列函数的图象 知识点3 函数图象的识别通过对函数解析式的形式了解函数的图象的特点，在识别上可以采用特殊的原则，去寻找特殊点和特殊位置等方法；在图象变换的问题上，需要依据变换的方法对函数的图象进行变换，而得到函数的图象；现在有一类很常见的的题型是和实际的生活相联系的问题，比如例题6，对于这样的问题首先需要我们把它转化成数学问题去进行思考【例题5】 已知y=f(x)的图象如图(A)，则y=f(-x)的图象是_；y=-f(x)的图象是_；y=f(x)的图象是_；y=f(x)的图象是_。巩固练习 方程f(x,y)=0的曲线如图所示，

6、那么方程f(2x,y)=0的曲线是 ( )【例题6】如下图所示，向高为的水瓶同时以等速注水，注满为止；（1）若水深与注水时间的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 ；（2）若水量与水深的函数图像是下图中的，则水瓶的形状是 ；（3）若水深与注水时间的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 ；（4）若注水时间与水深的函数图象是下图中的，则水瓶的形状是 巩固练习：某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )知识点4 函数图象的应用 有关函数图象的应用在前面的几个知识点当中有适当的涉及，函数的图象在我们函数

7、有关问题的解决中是有着相当重要的作用，起着直观，简洁，化繁为简的作用。【例题7】方程的实根共有几个？巩固练习 方程的实根共有几个？四、小试身手【考题再现】1( 2006年重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是 ( ) 2（2006年江西卷）某地一年的气温Q（t）（单位：c）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10c，令G（t）表示时间段0,t的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）10cG(t)10cG(t)G(t)10cttt1266O12612OO图（1

8、） BAD10cG(t)O612CG(t)10c612tO t3(2006年山东卷）函数y=1+ax(0a1)的反函数的图象大致是 ( ) （A） （B） （C） （D）（A） （B） （C） （D）4（2006年全国卷II）函数yf(x)的图像与函数g(x)log2x(x0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为 ( )(A)f(x)(x0) (B)f(x)log2(x)(x0) (C)f(x)log2x(x0) (D)f(x)log2(x)(x0)5（2006年天津卷）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A B C D 6. （2

9、006年上海春卷）设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方. 7(2005年全国)设b0，二次函数yax2bxa21的图像为下列之一则a的值为(A)1(B)-1(C) (D) 805山东，理2函数的反函数图像大致是 （ ）（A） （B） （C） （D）【模拟训练】1（北京市东城区20052006学年度综合练习（二）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,令, 则关于有下列命题：（1）的图象关于原点对称；（2）为偶函数；（3）的最小值为0；（4）在（0，1）上为减函数.。其中正确命题的序号为 .

10、2.（2006年北京市朝阳区综合练习（一）如下图，正方形ABCD的顶点A（0，），B（，0），顶点C、D位于第一象限，直线将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数的图象大致是（ ）3（连云港市2006届高三第二次调研考试）OxxxxyyyyOOO设曲线在其上任一点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为 A B C D4（北京市海淀区2005年11月高三数学期中考试）若函数则y=f(1x)的图象可以是（ ） （A） （B） （C） （D）5. （2006年南京市高三第一次模拟考试）函数的图像大致是( )6（湖北省黄冈中学20052006学年度上学期高三年级检

11、测题）若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）ABC D五、参考答案： 知识梳理2列表、描点、连结3（,左，右），（,上，下），（轴），（轴），（原点中心），（直线），（纵坐标（横坐标不变）伸长()或压缩()到倍），（横坐标（纵坐标不变）压缩()或伸长 ()到倍）课堂互动【例题1】（1）（2）答案为；右。在此要注意平移变换时，不是向左，这是很容易出错的。（3）巩固练习：（1）函数是偶函数，所以它的对称轴为x=0，向左平移个单位得到函数，所以函数的对称轴也将x=0向左平移个单位得到（2），函数为偶函数，关于y轴对称【例题2】f(x199)和f(x)这两个函数的最小值是相同的，所以 ，得f

12、(x)的最小值即f(x199)的最小值是2【例题2】 巩固练习：解：函数y=f(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，y=(1-x)= y=-(x-1),把y=f(x)与y=f(x)的图象同时都向右平移一个单位，就得到y=f(x-1)与y=(1-x)的图象，对称轴y轴向右平移一个单位得直线x=1，故选。【例题3】关于轴对称. x=1x=-1关于轴对称. 【例题3】 巩固练习 :从复合函数认识，“先外层，后内层，由基本的初等函数经过复合 （变换）作图X=1，先对称后平移再翻折； ，先平移后对称再翻折,如图.【例题4】 (1)当x2时，即x-20时，当x2时，即x-20时， 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出 （2），为奇函数，从而可以作出时的图像，又 时，时，的最小值为2，图像最低点为，又