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1、第零章 数学准备一 泰勒展开式1 二项式的展开 2 一般函数的展开 特别:时, 3 二元函数的展开(x=y=0处) 评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。二 常微分方程1 一阶非齐次常微分方程： 通解：注：积分时不带任意常数，可为常数。2 一个特殊二阶微分方程 通解： 注：为由初始条件决定的常量3 二阶非齐次常微分方程 通解：；为对应齐次方程的特解，为非齐次方程的一个特解。 非齐次方程的一个特解（1） 对应齐次方程设得特征方程。解出特解为，。*若则，；*若则，； *若则，；（2） 若为二次多项式*时，可设*时，可设
2、注：以上,A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。三 矢量 1 矢量的标积 注：常用于一矢量在一方向上的投影2 矢量的矢积 四 矩阵此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。 令*D=0时，方程组有非零解*D0时，方程只有零解第一章 牛顿力学的基本定律万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。【要点分析与总结】 1 质点运动的描述（1） 直线坐标系 （2） 平面极坐标系（3） 自然坐标系 （4） 柱坐标系 析 上述矢量顺序分别为：矢量微分：（其它各矢量微分与此方法相同）微分时一定要注意矢量顺序2
3、 牛顿定律 惯性定律的矢量表述 （1） 直角坐标系中（2） 极挫标系中（3） 自然坐标系中 3 质点运动的基本定理 几个量的定义：动量 角动量 冲量 力矩 冲量矩 动能 （1） 动量定理 方向上动量守恒：（2） 动量矩定理 （3） 动能定理 4机戒能守恒定理 T+V=E 析势函数V: 稳定平衡下的势函数：; 此时势能处极小处 且能量满足【解题演示】 1 细杆OL绕固定点O以匀角速率转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为d，如图所示。求小环的速度和加速度。解：依几何关系知： 又因为： 故：2 椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线O与Oy滑动，已知B端以匀速c运动，
4、如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小与。解：依题知： 且： 得：又因M点位置： 故有：代入（*）式得：即： 3 一半径为r的圆盘以匀角速率沿一直线滚动，如图所示。求圆盘边上任意一点M的速度和加速度（以O、M点的连线与铅直线间的夹角表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。 解：设O点坐标为（）。则M点坐标为（） 故： 4 一半径为r的圆盘以匀角深度在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度和加速度（用参量，表示）。解：依题知：且O点处：则： 5 已知某质点的运动规律为：y=bt,a和b都是非零常数。（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用
5、极坐标表示出质点的速度和加速度。解：得： 6 已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是r和，这里和是常数。求出质点的加速度矢量. 解：由题知： 且： 故： 7 质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。证明：设速度为。则：由于与为正交矢量。即得证。 8一质点沿心脏线以恒定速率v运动，求出质点的速度和加速度.解：设 且有： 解得： 得：则： 9已知质点按 运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。解：（1）极坐标系下：由得：且设：则：得： 则：径向与横向的分量分别为，。10质点以恒定速率沿一旋轮线运动，旋轮线方程为。证明质点在方向做等加速运
6、动。解：依题意：得：则： 11 一质点沿着抛物线运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点以速率出发，求质点到达正焦弦的另一端点时的速率。解：建立自然坐标系有：且： 积分得：（代入）又因为：在点处斜率： 在点处斜率： 故： 即： 12 竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。解：设空气阻力为，且小球初速为，质量为没，则有：上升时间：上升高度：下落时间：得： 即得证。 13 质量为的质点自离地面高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C，试讨论此质点下落过程中的运动状况。解：设加速度为，速率为，则：得
7、：积分并代入时有： 知：质点一直在做向下的变加速运动，且加速度越来越小。 14 将一质量为的质点以初速度与水平线成角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的倍，这里是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为角度时所需时间。解：依牛顿第二运动定律有： 积分并代入初始条件：时：解得：当再次夹角为时：可解出： 15 一质量为的质点用一长度为的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为的初速度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是时，小环在钢丝上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是，此时绳中的张力为。解：依
8、 得：则：又因为：得：故： 即得证。 16 滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为的质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时，质点以匀速率下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧作用力为W时的静止伸长。解：（注：此题中）设最大伸长为有：依能量守恒： 解得： 则： 17 两个相同的轻质弹簧，劲度系数为，自然长度是，在它们中间竖直地串接一质量为的质点。弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点，如图所示，A、B间的高度差是。设开始时质点静止于AB的中点，求质点的运动规律。17解：质点运动时势能在平衡时：得:且运动时受力满足：代入初始条件: 可解得
9、： 18 两个质量都是的质点A和质点B用一自然长度为的轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示。弹簧的劲度系数为。两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿AB方向受到一大小为的恒力作用。分别求处质点A和质点B的运动规律。18解：依受力分析知 +得： 积分得: 代入得：积分得：同理： 积分得：式中。另解：先将AB及弹簧看成一系统，其质心做一受恒力的作用，再将A与B 理解成绕质心做周期性振动，可得A的运动规律为质心运动与A振动的合运动，B亦然。计算亦很简单！ 19 一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示。问质点滑至何处将脱离圆柱表面？解：将脱离时滑过相应角度为，此时满足：
10、可解得： 20 一钢丝弯成尖端朝上的摆线：，上面穿有一质量为的小环。今若小环在钢丝的最低处获得大小为的初速度，开始沿摆线滑动。求出当小环的速度与水平线成角度时，小环的速率。已知小环与钢丝的摩擦系数为。解：小环运动时，依受力分析知： 其对钢丝的正压力为 又因为：得： 代入：得：则损失能量：再依能量守恒： 得： （其中）现进行积分： 解出：代入得：代入得： 再将C代入得：故： 21 如图所示，用细线将一质量为的圆环悬挂起来，环上套有两个质量都是的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。若两小环同时从大环顶部由静止向两边滑动，证明如果，大环将升起；此时角是多少？解：小环因重力对的压力。而小环运动所需向心
11、力必由对的弹力F与重力提供，满足：（法向）又依能量守恒知：且依两环的对称性知，大环受合力向上，且大小为： 当大环升起须满足：故得方程： 故：当满足时，升起时角度满足解出： 则刚升起时：第三章 非惯性参考系 不识庐山真面目，只缘身在此山中。地球的多姿多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。春光无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放益彩。【要点分析与总结】1 相对运动 析仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。（1） 平动非惯性系 () 即：（2） 旋转非惯性系 ()2 地球自转的效应（以地心为参考点）写成分量形式为：析坐标系选取物质在地面上一定点O为坐标原点，x轴指向南方，y轴
12、指向东方，铅直方向为 z轴方向。 为旋转非惯性系 在 条件下忽略 与 所得。正因如此，地球上的物体运动均受着地球自转而带来的科氏力 的作用，也正是它导致了气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅科摆等多姿多彩的自然现象。注自由落体偏东的推导时，取 =0，且须应用级数展开，对小量作近似【解题演示】1 一船蓬高4米，在雨中航行时，它的雨篷遮着蓬的垂直投影后2m的甲板；但当停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m 处，如果雨点的速率是8米每秒，求船航行时的速率？解：取湖面为惯性坐标系，如右图所示建立坐标系 依几何关系，设雨点相对湖面速度为 船相对雨点的速度为 则：船相对湖面的航行速度则:u=82. 河的宽度为，水的流速与离开河岩的距离成正比。岩边水的流速为0，河中心处水的流速为。河中一小船内的人，以相对于水流恒定的速率，垂直于水流向岸边划去。求小船的舫行轨道和抵达对岩的地点。解：如右图所示，建立xoy惯性系，且依题意可知人的位置（x,y）满足： 由得：y=ut分别代入，并联立得: 到达对岸时,代入得: 3. 一圆盘以匀角速度绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点M沿圆盘上的弦，以恒定的相对速度运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为，求在以地面为参考系时，质点M的速度和加速度（表示成质点M离弦中点的距
