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1、第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：，事件A发生必有事件B发生；等价关系：， 事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A 发生；互不相容（互斥）： ，事件A与事件B一定不会同时发生。互逆关系（对立）：，事件发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足注：互不相容和对立的关系（
2、对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3. 事件的三大运算事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则；事件的交：，事件A与事件B都发生； 事件的差：，事件A发生且事件B不发生。4. 事件的运算规律交换律：结合律：分配律：德摩根（De Morgan）定律： 对于n个事件，有二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1) 非负性：(2) 规范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.则称P(A)为随机事件A的概率.2概率的性质若，则注：性质的逆命题不一定成立的. 如若则。
3、（）若，则。（）三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件： 只有有限个样本点, 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为(2)在不放回抽样的方式下, 取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率：2.乘法公式： 4.全概率公式：若，则。5.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且 .五、事件的独立1. 定义：.推广：若相互独立，2. 在四对事件中，只要有一对独立，
4、则其余三对也独立。3. 三个事件A, B, C两两独立：注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：练习：一、 判断正误1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若 则。（X）3.。 (X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。()5. n个事件若满足，则n个事件相互独立。(X)6. 当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（）二、选择题1设A, B为两事件，则P(A-B)等于 ( C ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)-P(AB)2 以A表示事件“甲种
5、产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 ( D )A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”3若A, B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 ( A ) A. P(AB)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A)4设，则等于 ( B ) A. B. C. D. 三、解答题1.解：(1) 因为A，B不相容，有所以(2) 因为A，B独立，所以,2.已知且求的值.解：由概率乘法公式得 3. 设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表, 其中
6、女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.求先抽到的一份是女生表的概率p。解: 设表示“第i次取出的报名表是女生表”, i=1,2表示“报名表是取自第j区的考生”, j=1,2,3. 根据题意得第二章 随机变量及其分布一、随机变量的定义设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。注：当时，(1)X是离散随机变量，并有概率函数则有(2) X连续随机变量，并有概率密度f (x)，则.2. 分布函数性
7、质：（1）F(x)是单调非减函数，即对于任意x1 1)解: (1)由概率密度的性质得故A=20.(2)当x0时，当0x1时，当x1时, 所以X的分布函数为 第三章 随机变量的数字特征一、期望（或均值）1定义： 2期望的性质： 3. 随机变量函数的数学期望4. 计算数学期望的方法(1) 利用数学期望的定义；(2) 利用数学期望的性质；常见的基本方法： 将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；二、方差1方差 注：D(X)=EX-E(X)20；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散
8、(集中)。2方差的性质(4) 对于任意实数CR，有 E ( X-C )2D( X )当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式): 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,对于任意的正数有或 3. 计算(1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式(3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1. 若XB(n, p), 则 E(X)=np, D(X) = npq;2. 若3. 若XU(a, b), 则4. 若5. 若三、原点矩与中心矩（总体）X的k阶原点矩：（总体）X的k阶中心矩：练习 一、判断正误：1.只要是随机变
9、量，都能计算期望和方差。( X )2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X )4.方差的实质是随机变量函数的期望。()5.对于任意的X,Y，都有成立。( X )二、选择题1.则的值为（ B ） A. 4, 0.6； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.12.随机变量X的数字期望为2，方差等于4，则ED(X), DE(X)的值分别为( D ) A. X, X； B. 2, 4； C. 4, 2； D. 4, 0.3. 两个独立的随机变量X, Y的方差分别为4和2，则随机变量X-2Y的方差等于:( C ) A. 0； B. 8； C. 12； D. 无
