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1、椭球体上有两点8.7距离改化公式及其大地线S,在高斯投影面上的投影为W写及.Prpf，s是一条曲线，而连接1七 两点的直线为D。由S化至d所加的改正称为距离改正AS。一般情况下高斯投影的长度比恒大于I，则有s D。为求S与D的关系，先研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系；然后研究用大地坐标B、 L和平面坐标x、y计算长度比m的公式；最后导出距离改化的芯 计算公式。8.7.1s与D的关系设如是A写弦上的微分线段，丛表示弧线4 P2上的微分线段，它们的夹角为V，则有血）=次COSV因此由于，是一个小角，最大不会超过方向改化值$，因此可把cosv展开为级ICOSV = 1- + .2于是有(8-1
2、17)式中S用V的最大值代替。S2 s已是二次项，。与s之差2是四次项s = 1mm微小量。当S取最大40/s=50KM时，代入上式得2，化算为相对中误差为1/50000000 = 2x1。所以，对现有测量方法这个误差可 忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度D。8.7.2长度比和长度变形长度比m是指椭球面上某一点的微分元素as，与其投影面上的相应的微分元 素公之比，即dsm =dS由于长度比恒大于1，故称（羽一 1）为长度变形。1.用大地坐标表示的长度比公式由（8-22）式第二式得18)(8-1偏导数见（8-78）=N2 cos2 B sin+ cos2 召(5 尸)
3、/3dr=N2 cos2 I2 cos2 5(1- t2 + ay2) + E，cos4 8(2-6产+尸)/3将上式代入(8-118 )得m2 =1+Z2 cos25(1+t?2)+Z4 cos45(2-/2)/3再根据近似公式71 = 1+-+-28162=1 +，工4斯商cos2 B(1 +心+ 标石cos4 B(5- 4广)(8-121)实用时一般取至二次项/，在6带的边缘及低纬度处，有时用到4项。2.用平面坐标表示的长度比公式在(8-121)式中如果能将/COS 用x,y表达，即可求得用平面坐标表示的长度比公式。利用正算公式(8-42)2式，y =二眼昌E .+ cos3 B(l-t
4、2 + rj2)r3+ N n5 cos5 B(5-18t2 +，4 + 14?72 - 5町)产12。(8-42)2 级数回求公式，若=+2+3+-* =L/_ 空尸 +（_ 与+ 2g* + 则务电叫叫J这里工=而胡， =N, % =。，V=Ml-+）/6, % 二。, 卫 J 1 一尸+工3 IcosB = y求得N W巾 3尸（忽略六次项）（Zcos.fi）4 =N （忽略六次项）代入（8-121）式得24m1+2R+ 24Ra(8-125)(1/7V4 E/R4)分析(8-121)(8-125)式: m随点的位置(B,L)或(x,y)而异，但在一点上与方向无关； 当y=0 (或1=0
5、)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等于1，即 中央子午线投影后长度不变； 当/尹。或/0时，由于m是y (或1)的偶函数，且各项都为“ + ”号，故 m恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了； 长度变形(m-1)与(或)成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形 愈大。 在同一纬线上，即B二常数，长度变形(m-1)随1的增大而增大。 在同一经线上，即1二常数，长度变形(m-1)随B的减少而增大，在赤道处(B=0) 为最大。8.7.3距离改化公式长度比定义ds = mdS由前面的分析知可用弦线来代替大地线的描写形，=湖，积分之，上式中长度比随点的位置而变，但当投影区域不大时，m的
6、变化很缓慢，例如当 y=300km，P】和七两点的纬差达一度时，两点长度比之差小于4X10-7，因此用近 似积分的方法而仍可得到较高的精度。现按辛普生近似积分公式，并且只把区间 仁力分成两段，每段长s/2f = bL & + 他 + 片 。=东（叫+啊+m2） 又按式（8-125） 。+也+二2R：24R；mq +骂+地2R； 2 砒代入，并用&代替“尺对计算影响可忽略不计，Of16 + 冬（W + 烦 + y；）+ 嘉（/+ 烦 + 乂）2弓Z4与可认为中点处*洗Ay f MM -Aj/2y2 =% +Ay/2Ji2 +yt =2丈 +A/2项已是很微小，故完全可以作以下替换， + 21 = 2些代入得大地线S归算到高斯平面上直线距离D的公式，=(1+均+兰(8-133)对于当S70km,、思350km（&。带的边缘）计算精度小于0.001m， 等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去以项，对于三四 等边长的归算又可再略去侦项。
