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1、高中数学辅导网 http:/2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第一章第三节函数的基本性质【本讲教育信息】一. 教学内容：高考复习：2. 函数的基本性质二. 考纲要求：（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质。三. 命题方向及典例探究1、函数单调性的判断例1. 试讨论函数中的单调性（其中）。解析：设则因此，当时，即此时函数为减函数；当时，即此时函数为增函数。点评：（1）证明函数单调性时，一定要严格按照定义来证明，主要步骤是：设元；作差（商）；变形；判断符号；定论。变形要彻底，一般通过因式分解
2、、配方等手段，直到符号的判定非常明显。（2）判断函数单调性的常用方法：定义法。两个增（减）函数的和为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；当f(x)恒为正或恒为负时，与的单调性相反。奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。如果和单调性相同，那么是增函数；如果和单调性相反，那么是减函数。如果f(x)在区间D上可导且在区间D上恒大于（小于）零，则在区间D上单调递增（减）。2、求函数的单调区间例2. 求下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）
3、分析：求给定函数的单调区间通常采用以下方法：利用已知函数的单调性；图象法；定义法（利用单调性的定义探讨）；导数法解析：（1）对称轴为f(x)在上是增函数，在上是减函数。（2）由一次函数的单调性可得：f(x)在上是减函数，在上是增函数。（3）其图象如图所示。由此可知：在上是增函数。在上是减函数。（4）方法一：设，则由于的符号不能确定，因此需要对的取值进行讨论。当时，有即f(x)在上是减函数。当时，有即f(x)在上是增函数。方法二：或（舍去）。又当时，f(x)在上是增函数，时，f(x)在上是减函数。点评：函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单
4、调区间的运算应该在函数的定义域内进行可以熟记一些基本函数的单调性，化一些复杂的函数为基本函数组合形式后利用已知结论判断 函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点3、函数的值域（最值）的求法 例3. 求下列函数的值域。分析：本题主要考查函数值域问题，考查运算能力、数学转化的思想，对于（1），利用判别式法或分离常数进行转化；对于（2），利用换元法转化为二次函数的值域问题；对于（3），利用基本不等式或利用函数的单调性求解；对于（4），由函数的有界性或由
5、几何法求解；对于（5），用求导数法求解解析：（1）方法一：（2）方法一：设得方法二：定义域为函数在上均单调递增，（3）方法一：当时，当且仅当时，取等号；当时，当且仅当时，取等号。综上，所求函数的值域为方法二：先证此函数的单调性任取且当或时，f(x)递增，当或时，f(x)递减。故时，时，所以函数的值域为（4）方法一：利用函数的有界性将原函数化为令且平方得原函数的值域为方法二：数形结合法或图像法。原函数式可化为，此式可以看作点（2，0）和连线的斜率，而点的轨迹方程为如图所示，在坐标系中作出圆和点（2，0）。由图可看出，当过（2，0）的直线与圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，当直线与圆的位置关系
6、知识：可设直线方程为即解得斜率的范围是即函数的值域为（5）函数的定义域1，1。当时，令得得（舍），又值域4、函数的奇偶性及其应用例4. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由。（1）（2）（3）（4）分析：判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再严格按照奇偶性的定义进行推理判断解析：（1）由于的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数。（2）已知f(x)的定义域为其定义域关于原点对称。又即f(x)是偶函数。（3）f(x)的定义域为且其定义域关于原点对称，并且有即为奇函数。（4）的定义域关于原点对称，当时，当时，f(x)为奇函数。例5. 函数是奇函数，
7、且当时是增函数，若求不等式的解集。解析：是奇函数，又在上是增函数，在上是增函数，若即解得或若解得原不等式的解集是点评：（1）解含有抽象符号“f”的不等式时，关键是符号“f”的“穿”和“脱”。在这里，首先要穿上符号“f”，然后再利用函数的单调性脱去“f”，使之成为能够求解的普通不等式。（2）单调性的定义实质上给出了自变量与函数值大小关系的转化。如果f(x)在D上为增函数，则，如果f(x)在D上为减函数，则，以上也是脱去符号“f”的重要手段。（3）在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反。四. 知识要点点拨1、函数的单调性是一个“区间概念”，如果一个函数在定义域的几个区间
8、上都是增（减）函数，但不能说这个函数在其定义域上是增（减）函数。例如：函数上是减函数，在上也是减函数，但不能说在上是减函数，因为当时有不满足减函数的定义。2、函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断其增减性，是求最值和值域的前提，当然，函数图象也是函数单调性的最直观体现。3、理解函数的奇偶性应注意（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件：是定义域上的恒等式。（2）奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：（3）若f(x)是偶函数，则反之亦真。若f(x)为
9、奇函数，且0在定义域内，则若且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数。4. 判断函数单调性的常用方法（1）定义法； （2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（4）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（5）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数；（6）如果和单调性相同，那么是增函数；如果和单调性相反，那么是减函数。5、判断函数奇偶性的常用方法确定函数的奇偶性，一般先考查函数的定义域是否关
10、于原点对称，然后判断与f(x)的关系，常用的方法有：（1）利用函数奇偶性定义判断；（2）用求和（差）法判断，即看与0的关系；（3）用求商法判断，即看与的关系；（4）也可由其函数图象直观判断。6、求函数值域（最值）的方法（1）利用基本函数求值域法有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域，如函数的值域为（2）反函数法用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。形如的函数值域可用此法。（3）换元法运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如：（a，b，c，d均为常数，且）的函数常用此
11、法求值域。（4）配方法二次函数或转化为形如类的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的函数要注意f(x)的范围。（5）不等式法求值域利用基本不等式：用此法求函数值域时，要注意条件“一正二定三相等”。如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：（或ab）为定值；取等号条件ab，三个条件缺一不可。（6）导数法设的导数为由可求得极值点坐标，若函数定义域为a，b，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值。（7）判别式法求值域把函数转化成关于x的二次方程通过方程有实根，判别式从而求得原函数的值域。形如（不同时为0）的函数的值域常用此法求得。（8）利用函数的单调性求值域通过确定函数在定义域内
12、（或某个定义域的子集上）的单调性求出函数值域的方法为单调性法。考虑用单调性法求值域常见的有（a，b，d，e均为常数，且），看a与d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失效（等号不满足）的情况下，可采用单调性求值域，但需熟悉下列结论：函数函数递减，函数递增。（9）数形结合法求函数的值域数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象来求函数的值域。（10）函数的有界性法形如可用y表示出，再根据解关于y的不等式，可求y的值的范围。【典型例题】例1. （2007上海春，5）设函数是奇函数。若则_。 部析：本题考查奇函数的概念。答案：3解析：是
13、奇函数，故填3。例2. （2006福建，21）（12分）已知函数（1）求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；（2）是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。部析：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。解析：（1）当即时，f(x)在t，t1上单调递增，当即时，当时，f(x)在t，t1上单调递减，综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当x充分接近0时，当充分大时，要使的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，有且只有即所以存在实数m，使得函数与图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为例3.
