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1、习题51 导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式(1)左矩形公式：af(x)dxf(a)(ba)(2)右矩形公式：af(x)dxf (b)(ba)中矩形公式：baf(x)dxf(a b2)(b a)解: (1)f(x)f (a)，bf(x)dxab f (a)dxaf(a)(ba)f(x)f(b)，af(x)dxaf(b)dxf(a)(ba)baf ( )(xb)dxbf ( )a(xb)dx 1(b a)2 1f ()，,(a,b)a b法 1 f(x) f (丁),法2可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 H (x)a b a ba b a b .,满足 H () f()
2、, H () f ()，则有2 2 2 2aa Kf(x) H(x) - f ( )(x 2)2,(a,b)于是2 考察下列求积公式具有几次代数精度：1 1(1) 0f(x)dx f(0) 丁；(2) 11f(x)dx f( 一；) f(；)。解：(1)当 f(x) 1 时，左=1，右=1+0=1，左二右；111当f (x) x时，左，右=0，左=右；22 22 1当f (x) x2时，左=-，右=1，左右，代数精度为13（2）当 f（X）1时，左=2，右=2,左=右;当 f (X)X时，左=0，右=（3)当 f (X)X2时，左-，右1 133 3当 f (X)X3时，左0，右(.3)当 f
3、 (X)X4时，左-，右5Q2精度为3。I，左=右;29，左右。代数130，左=右；(3)30,左=右;3确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次 数。(1)11 f (x)dx13【f( 1) 2f()3f();bb f (x)dxb aAf(a) f(b)2a(b a)2f(a) f (b)；(3)f (x)dxaf( 1)ai f (0)a2 f (1)。解:f(x)1时，左2，右-(12 3)32,左=右;f(x)x时，左0,右1( 1 23f(x)x2时，左3，右 3(1222);要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当满足1 _61,255求积公式(1
4、)： f(x)dx -13，12丄1匀51,2356)1 _65151 761 2后f( 1)2f(T6) 3f(5 27)求积公式（2）:1 11f(x)dx 3 f(1)2f(!)5(B)当 f (x) X3 时，(A)的左端为1。的右端2 ()352 6尸15(B)的右端1y/6 32 (- -)35(2)(A )和5 i3(B)的代数精度均为23(52 6尸15baf(X)dXb a仙f(b)(ba)2f (a) f (b)b a当 f(x) 1 时，左 b a，右(11) b a122b a122当 f (x) x时，左 (b a )，右a b (b a )2 2 2当 f(x) x
5、2时，左 1(b3 a3)，3b a 22右(a2b2) (b a)( a 2b)要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当3b 3144当 f (x) x3 时，左x3dx -(b4 a4),4右 a3 b3丄(b a)23a2 3b22 12b11当 f (x) x4时，左x4dx -(b5 a5)，b5 的系数 。a55右宁a4 b4 士(b a)2(4a3 4b3)，2 12其中b5的系数112 (4)1。因而代数精度为355设函数f (x)由下表给出:x1.61.82.02.22.42.6f (x)4.9536.0507.3899.02511.02313.464x2.83.03.23.4
6、3.63.8f (x)16.44520.08624.53329.96436.59844.701解：x1.8 2.02.22.42.6 2.83.03.23.4f(x)6.050 7.3899.02511.02313.46416.44520.08624.53329.964(1)复化梯形公式h0.2 ,xi 1.8ih , i0,1,2,8(2) h 0.4(3) Romberg 算法7试用复化梯开公式计算曲线 f(x) tanx在区间0,上这一段的弧长，取41 10 3。21解：f (x) tanx,f (x)cos2 x301681641 1.280841.415921.429861.4592
7、5 1.50746232所求弧长为T32 1.278819.利用积分 dx In 4计算In 4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节2 x点才能使其误差绝对值不超过1 10 5。2解：a 2, b 8,1f(x) 1，f (x)122 ,f (x)3x2x3baf(x)dx Tn(f)b af (12)h2 ,(2,8)要使只要4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.取 n 949答：取950个等距节点，则有方法 2 I(f) Tn(f)11211 f (x)dx Tnf (a) f (b) h28110 用Romberg方法求 dx2x上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。1要求误
8、差不超过-210解：将区间2 , 8作16等分,8 21611210822 h222从所取节点个数与2,c 319222528313437x2+ 88888888f(x)188888882，192225，28，31，34，37404346495255586164x888888888f(x)88888888840 ,43,46 ,49 ,52 ,55,58 ,61 ,64实际上O12 .用 3 点 Gauss-Legendre公式求 I0exdx1 x解：0e xdxt)三 点 Gauss公式21 根据下列f(x) tanx的数值表:x1.201.241.281.321.36f(x)2.572 152.911 933.341 353.903 354.673 44解：f (x) tanx1f(x)命2tan xD(x,h)f(X0h) 仁勺 h)2h1 2(x h,x h)f(x) D(x,h)h2f (),实际误差f (1.28)D(1.28,0.08)0.96844268f (1.28)D(1.28,0.04)0.22813018
