行列式经典例题

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1、 真诚为您提供优质参考资料,若有不当之处,请指正。大学-行列式经典例题例1计算元素为aij = | ij|的n阶行列式.解 方法1 由题设知,=0,故其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行第二步用的每列加第列方法2 =例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察范德蒙行列式: / = 行列式 即为y2前的系数. 于是= 所以 的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D= 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有D= x D+(1)a = x D+ a由于D= x + a,于是D= x D+ a=x(x D+a)+ a=xD+ ax

2、 + a= xD+ ax+ ax + a=方法2 第2列的x倍,第3列的x倍,第n列的x倍分别加到第1列上 =方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式D x k= x( + +a+x)=方法4 + + =(1)(1)a+(1)(1) ax+(1)(1)ax +(1)( a+x) x = 例4 计算n阶行列式: ()解 采用升阶(或加边)法该行列式的各行含有共同的元素,可在保持原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素 =这个题的特殊情形是=可作为公式记下来例5计算n阶“三对角”行列式D=解 方法1 递推法DDDD即有递推关系式 D=D

3、D (n3)故 递推得到 而,代入得 (2.1)由递推公式得D 方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=上式右端第一个行列式等于D,而第二个行列式=于是得递推公式,已与(2.1)式相同方法3 在方法1中得递推公式D=DD又因为当时 D=D= =-2= =于是猜想,下面用数学归纳法证明当n=1时,等式成立,假设当nk 时成立当n=k+1是,由递推公式得D=DD =所以对于nN,等式都成立例6 计算阶行列式: 其中解 这道题有多种解法方法1 化为上三角行列式其中,于是方法2 升阶(或加边)法方法3 递推法将改写为+由于 因此=为递推公式,而,于是= 温馨提示:最好仔细阅读后才下载使用,万分感谢!

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