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1、培优专题用提公因式法把多项式进行因式分解 作者： 日期：1 个人收集整理 勿做商业用途1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式.下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1。 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多项式的
2、第一项系数是负数，一般要提出“”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2。 利用提公因式法简化计算过程 例：计算 分析：算式中每一项都含有,可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解:原式 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组，求代数式的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和,观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子,即可求出结果. 解： 把和分别为3和带入
3、上式，求得代数式的值是. 4。 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n,一定是10的倍数. 分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可. 对任意自然数n,和都是10的倍数. 一定是10的倍数5、中考点拨： 例1。因式分解 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有,看是否能通过变形转换得到。 例2分解因式： 解： 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示: 例1。 计算: 精析与解答： 设，则 说明:此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算，运算量必然很
4、大。其中2000、2001重复出现，又有的特点,可通过设未知数,将复杂数字间的运算转化为代数式,再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算. 例2. 已知:（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。 分析:常规解法是分别将两个多项式分解因式,求得公因式后可求b、c，但比较麻烦.注意到是及的因式。因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。 解:是及的公因式 也是多项式的二次因式 而 b、c为整数 得： 说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求得. 例3。 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。 解： 都是大于1的自然数 是合数 说明:在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数.只能被1和本身整除的数叫质数.【实战模拟】 1. 分解因式： (1） （2)(n为正整数） (3） 2. 计算:的结果是（ ） A。 B。 C。 D。 3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y。4。 证明：能被45整除. 5. 化简：,且当时,求原式的值.试题答案 1。 分析与解答： （1) （2) （3）原式 注意:结果多项因式要化简，同时要分解彻底. 2. B 3。 是正整数 分解成 又与奇偶性相同，且 说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。 4. 证明: 能被45整除 5. 解：逐次分解：原式 当时，原式- 2 -
