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1、必修21.3空间几何体的外表积、体积例1 棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC图6，求它的外表积.图6分析：由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的外表积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D.因为BC=a,SD=,所以SSBC=BCSD=.因此，四面体SABC的外表积S=4.变式训练1.圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.假设圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线高长为，由题意得圆锥的高为，又
2、圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=，根据圆锥的侧面积公式得：S圆锥侧=rl=r.2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三局部的体积的比是 A.123B.1719 C.345D.1927分析：因为圆锥的高被分成的三局部相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为123，于是自上而下三个圆锥的体积之比为()2h3h=1827，所以圆锥被分成的三局部的体积之比为181278=1719.答案：B3.三棱锥VABC的中截面是A1B1C1，那么三棱锥VA1B1C1与三棱锥AA1BC的体积之比是 A.12B.14 C.16D.18分析：中截面将三棱锥的高分成
3、相等的两局部，所以截面与原底面的面积之比为14，将三棱锥AA1BC转化为三棱锥A1ABC，这样三棱锥VA1B1C1与三棱锥A1ABC的高相等，底面积之比为14，于是其体积之比为14.答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？取3.14，结果精确到1毫升图7解：如图7，由圆台的外表积公式得一个花盆外壁的外表积S=-()21 000(cm2)=0.1(m2).涂100个这样的花盆需油漆：0.1100100=1 00
4、0毫升.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，那么油漆工完成任务所需的时间是多少?精确到0.01秒解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，圆柱的侧面积为S侧=2rl=20.10.5=0.1m2，又圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5 m2，因此油漆工完成任务所需的时间t=6.37秒.2.三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，那么三棱锥
5、体积的最大值是_.分析：由题意得三棱锥的体积是(x-2)2+，由于x0，那么当x=2时，三棱锥的体积取最大值.答案：例3 有一堆规格相同的铁制铁的密度是7.8 g/cm3六角螺帽图8共重5.8 kg,底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?取3.14图8解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=122610-3.14()2102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的个数为5.81 000(7.82.956)252(个).答：这堆螺帽大约有252个.变式训练 如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米
6、，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.精确到0.01秒图9解：如图10，设水面的半径为r，那么EH=r-2分米，BG=2分米，图10在ABG中，EHBG，.AH=2分米,.r=分米.当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V水=3()2+4+42=立方分米,所用的时间为36.69秒.答：所用的时间为36.69秒.自我测试1.正方体的外表积是96，那么正方体的体积是 A.B.64 C.16D.96分析：设正方体的棱长为a，那么6a2=96，解得a=4，那么正方体的体积是a3=64.答案：B2.如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为，那
7、么圆锥的外表积为 A.B.2C.3D.4分析：设圆锥的母线长为l，那么l=2，所以圆锥的外表积为S=1(1+2)=3.答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是 A.B.C.D.分析：可得正三棱锥的高h=3，于是V=.答案：D4.假设圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，那么圆柱的体积扩大为原来的_倍；假设圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，那么圆柱的体积扩大为原来的_倍.分析：圆柱的体积公式为V圆柱=r2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.答案：4165.图2
8、0是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉局部的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为a，那么正方体的体积为a3.三棱锥的底面是RtAGF，即FAG为90，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以AF=AG=.所以AGF的面积为.又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH=.所以锯掉的局部的体积为.又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.6.一圆锥的侧
9、面展开图为半圆，且面积为S，那么圆锥的底面面积是_.分析：如图21，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得解得r=，所以圆锥的底面积为r2=.图21答案：7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水假设干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，那么图22中容器内水面的高度是_.图22图23分析：图22中容器内水面的高度为h，水的体积为V，那么V=SABCh.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为2a，那么V=2a，h=.答案：8.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，那么这个圆台的体积是_.分析：设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面，可得，解得h=3，所以这个圆台的体积是(22+24+42)3=28.答案：28
