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1、必修21.3空间几何体的外表积、体积例1 棱长为a,各面均为等边三角形的四面体SABC图6,求它的外表积.图6分析:由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的外表积等于其中任何一个面面积的4倍.解:先求SBC的面积,过点S作SDBC,交BC于点D.因为BC=a,SD=,所以SSBC=BCSD=.因此,四面体SABC的外表积S=4.变式训练1.圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.假设圆柱的底面半径为r,圆柱侧面积为S,求圆锥的侧面积.解:设圆锥的母线长为l,因为圆柱的侧面积为S,圆柱的底面半径为r,即S圆柱侧=S,根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线高长为,由题意得圆锥的高为,又
2、圆锥的底面半径为r,根据勾股定理,圆锥的母线长l=,根据圆锥的侧面积公式得:S圆锥侧=rl=r.2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三局部的体积的比是 A.123B.1719 C.345D.1927分析:因为圆锥的高被分成的三局部相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为123,于是自上而下三个圆锥的体积之比为()2h3h=1827,所以圆锥被分成的三局部的体积之比为181278=1719.答案:B3.三棱锥VABC的中截面是A1B1C1,那么三棱锥VA1B1C1与三棱锥AA1BC的体积之比是 A.12B.14 C.16D.18分析:中截面将三棱锥的高分成
3、相等的两局部,所以截面与原底面的面积之比为14,将三棱锥AA1BC转化为三棱锥A1ABC,这样三棱锥VA1B1C1与三棱锥A1ABC的高相等,底面积之比为14,于是其体积之比为14.答案:B例2 如图7,一个圆台形花盆盆口直径为20 cm,盆底直径为15 cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆?取3.14,结果精确到1毫升图7解:如图7,由圆台的外表积公式得一个花盆外壁的外表积S=-()21 000(cm2)=0.1(m2).涂100个这样的花盆需油漆:0.1100100=1 00
4、0毫升.答:涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm,横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆,且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进,那么油漆工完成任务所需的时间是多少?精确到0.01秒解:圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,圆柱的侧面积为S侧=2rl=20.10.5=0.1m2,又圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动,圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5 m2,因此油漆工完成任务所需的时间t=6.37秒.2.三棱锥OABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,且x+y=4,那么三棱锥
5、体积的最大值是_.分析:由题意得三棱锥的体积是(x-2)2+,由于x0,那么当x=2时,三棱锥的体积取最大值.答案:例3 有一堆规格相同的铁制铁的密度是7.8 g/cm3六角螺帽图8共重5.8 kg,底面是正六边形,边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?取3.14图8解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即V=122610-3.14()2102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的个数为5.81 000(7.82.956)252(个).答:这堆螺帽大约有252个.变式训练 如图9,有个水平放置圆台形容器,上、下底面半径分别为2分米
6、,4分米,高为5分米,现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水,当水面的高度为3分米时,求所用的时间.精确到0.01秒图9解:如图10,设水面的半径为r,那么EH=r-2分米,BG=2分米,图10在ABG中,EHBG,.AH=2分米,.r=分米.当水面的高度为3分米时,容器中水的体积为V水=3()2+4+42=立方分米,所用的时间为36.69秒.答:所用的时间为36.69秒.自我测试1.正方体的外表积是96,那么正方体的体积是 A.B.64 C.16D.96分析:设正方体的棱长为a,那么6a2=96,解得a=4,那么正方体的体积是a3=64.答案:B2.如图19所示,圆锥的底面半径为1,高为,那
7、么圆锥的外表积为 A.B.2C.3D.4分析:设圆锥的母线长为l,那么l=2,所以圆锥的外表积为S=1(1+2)=3.答案:C3.正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为,那么这个正三棱锥的体积是 A.B.C.D.分析:可得正三棱锥的高h=3,于是V=.答案:D4.假设圆柱的高扩大为原来的4倍,底面半径不变,那么圆柱的体积扩大为原来的_倍;假设圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的4倍,那么圆柱的体积扩大为原来的_倍.分析:圆柱的体积公式为V圆柱=r2h,底面半径不变,高扩大为原来的4倍,其体积也变为原来的4倍;当圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的4倍时,其体积变为原来的42=16倍.答案:4165.图2
8、0是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉局部的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析:因为锯掉的是正方体的一个角,所以HA与AG、AF都垂直,即HA垂直于立方体的上底面,实际上锯掉的这个角,是以三角形AGF为底面,H为顶点的一个三棱锥.解:设正方体的棱长为a,那么正方体的体积为a3.三棱锥的底面是RtAGF,即FAG为90,G、F又分别为AD、AA1的中点,所以AF=AG=.所以AGF的面积为.又因AH是三棱锥的高,H又是AB的中点,所以AH=.所以锯掉的局部的体积为.又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.6.一圆锥的侧
9、面展开图为半圆,且面积为S,那么圆锥的底面面积是_.分析:如图21,设圆锥底面半径为r,母线长为l,由题意得解得r=,所以圆锥的底面积为r2=.图21答案:7.如图22,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水假设干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图23,这时水面恰好为中截面,那么图22中容器内水面的高度是_.图22图23分析:图22中容器内水面的高度为h,水的体积为V,那么V=SABCh.又图23中水组成了一个直四棱柱,其底面积为,高度为2a,那么V=2a,h=.答案:8.圆台的两个底面半径分别为2、4,截得这个圆台的圆锥的高为6,那么这个圆台的体积是_.分析:设这个圆台的高为h,画出圆台的轴截面,可得,解得h=3,所以这个圆台的体积是(22+24+42)3=28.答案:28