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1、第九章重积分第一节二重积分的概念及性质重积分的概念1.引例引例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D,侧面是以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，顶是有二元非负连续函数zf(xy)所表示的曲面，如图91所示,这个立体称为D上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积图9 1图9 3解对于平柱体的体积V高底面积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域D任意划分成n个小闭区域，其中表示第i个小闭区域，12ni也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，如图92所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。(2)近似在每一个
2、小闭区域上任取一点(，)，以f(i,i)为高，为底的平顶柱体iivi的体积f(i,i)i近似代替第i个小曲顶柱体的体积Vf(i,i)(3) 求和这n个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值nVVf(i,i)ii1(4) 取极限将区域D无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即nVlim0f(i,i)ii1其中表示这n个小闭区域直径中最大值的直径(有界闭区域的直径是指区i域中任意两点间的距离)。引例2平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy面上的有界闭区域D,它的密度为D上的连续函数z(x,y)，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量m密度薄片面积，然
3、而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1) 分割将薄片(即区域D)任意划分成n个小薄片，其中表示第i个12ni小小薄片，也表示它的面积，如图93所示。(2) 近似在每一个小薄片i上任取一点(i,i),以(i,i)为其密度，当i很小时，认为小薄片是均匀的，则(i,i)i近似代替第i个小薄片的质量。即(3) 求和这n个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值m ( i, i) i(i,i)i1(4) 取极限将薄片D无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即nmlim0(i,i)ii1其中表示这n个小薄片直径中最大值的直径。i2二重积分的概念定积分与曲边梯形的面积有关。
4、上面例子抛开其几何意义和物理意义，单纯地从数学结构角度来考虑，那就是二重积分。定义设zf(x,y)是有界闭区域D上的有界函数(1)将闭区域D任意分成n个小闭区域,，其中表示第i个小闭12ni区域，也表示它的面积。(2)在每个上任取一点(，)，作乘积f(,)(i=1,2,，n)iiiiiin(3)并作和f(,)iiii1(4)如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作f(x,y)dD即nf(x,y)dlim0f(i,i)i.Di1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)d叫做被积表达式，d叫做面积元素，x与y叫做n积分
5、变量，D叫做积分区域，f(,)叫做积分和。iii【注意】在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域j的边长x和y则,xyk,因此在直角坐标系中，有时也把面积元素d记作dxdy,从而f(x,y)df(x,y)dxdyDD其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素3 .二重积分的几何意义若f(x,y)0,函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分表示为以D为底面，f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积；若f(x,y)0,表示柱体在xoy面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数；若函数f
6、(x,y)在闭区域D上既有正的，又有负的，则二重积分表示在xoy面的上、下方的柱体体积的代数和。4 .二重积分存在性如果被积函数f(x,y)在积分区域D上连续，那末二重积分f(x,y)d必定存在。D二.二重积分的性质性质1被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去。即kf(x,y)dkf(x,y)dDD性质2(线性性)有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和。f(x,y) g(x, y)df (x, y)dg(x, y)d推论设、为常数，则f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)dDDD性质3(可加性)若闭区域D被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分
7、就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和(DD1D2)of(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D2性质4若在D上f(x,y)1,为D的面积，则1ddDD推论AdAdADD性质5(不等式性)若在D上，f(x,y)g(x,y),则f(x,y)dg(x,y)dDD【特别地】If(x,y)f(x,y)|f(x,y),则f(x,y)d|f(x,y)dDD性质6(有界性)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则mf(x,y)dMD性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积,则在D上至少存在一点(,)使得f(x,y)df(,)第二节二重积
8、分的计算法用定义计算二重积分是相当困难的事，而且非常麻烦，本节探讨行之有效的计算方法和技巧。一.直角坐标系中的计算方法用不等式1(x)y2(x),axb来表小的区域，其中函数1(x)、？(x)在区间a,b上连续，如图94所示，称为X一型区域；用不等式1(y)x2(y),cyd来表小的区域，其中函数(y)、2(y)在区间c,d上连续，如图95所示，称为Y一型区域。注意X型或Y型区域，如果经过该区域内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于x轴(或y轴)的直线，且此直线交区域的边界不超过两点。图9 4图9 5图9 6图9 71.X型区域D上的二重积分的计算法对X一型区域D1(x)y2(x)axb选
9、X为积分变量，xa,b,任取子区间x,xdxa,b。设A(x)表示过点x且垂直x轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图96所示，则曲顶柱体体积V的微元dV为dVA(x)dx那么曲顶柱体体积V为bVA(x)dx由图9-6知，该截面是一个以区间i(x),2(x)为底，以曲线zf(x,y)(x固定)为曲边的曲边梯形，其面积为则曲顶柱体体积为故二重积分的计算法为f(x,y)dD2Y型区域D上的二重积分的计算法对Y型区域D1(y)x2(y)cyd如图9-7所示，选取y为积分变量，则用垂直于y轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积V故二重积分的计算法为df(x,y)dcA(x)baba2
10、(x)1(x)2(x)(x)f(x,y)dy1(x)2(x)(x)f(x,y)dydxf(x,y)dydxbdxa2(x)(x)f(x,y)dyd2(y)c1(y)f(x,y)dxdy2(y)d2(y)(y)f(x,y)dxdycdy(y)f(x,y)dxD11由此可得，二重积分的计算采取的方法是化为两次定积分法来计算。若区域D为X一型，则先把x看成常量，对y进行积分，它的积分限一般是x的函数。然后在对x进行积分，它的积分限是常数。若区域是DY一型，则先把y看成常量，对x进行积分，它的积分限一般是y的函数。然后在对y进行积分，它的积分限是常数。这种先一个变量积分，然后再对另一个变量积分的方法，
11、称为累次积分法。3累次积分上下限的确定方法把二重积分化为累次积分，其关键是依据所给出的积分区域D，确定其属于什么类型，定出两次定积分的上下限，上下限的确定法如下(1)在xy平面上画出曲线所围成的区域D(2)积分限的确定若区域是X型区域，则先把区域D投影到x轴上，得到区间a,b,则区域D的最左点a和最右点b就是x的积分下限和上限。在a,b上任意取一点x,过x画一条与y轴平行的直线，与区域D的边界曲线交点为yi(x),y2(x)。如果i(x)2(x),那么下部边界曲线i(x)和上部边界曲线2(x)就是y的积分下限和上限，如图98所示。若区域是Y一型，则先把区域D投影到y轴上，得到区间c,d,则区域
12、D的最下点c和最上点d就是y的积分下限和上限。在区间c,d上任意取一点y,过y画一条与x轴平行的直线，与区域D的边界曲线交点为y1(x)，y2(x)。如果i(x)2(x),那么左部边界曲线i(x)和右部边界曲线2(x)就是x的积分下限和上限，如图95所示。(3)若区域既不是X型区域，又不是Y型区域用平行于X轴或y轴的直线，把区域D分成若干个属于同一类型的区域，如图109所示，然后在每个区域分别确定其上下限。最后根据积分的性质即可求解积分。(4)若区域既是X一型区域，又是Y一型区域这种类型区域的累次积分可以交换积分次序。即区域D既为X一型，可以用不等式/x)y2)，axb来表小。又为Y一型的，可
13、以用不等式(y)x2(y)，cyd来表示，则b2（x）d2（y）adXi（x）f（X，y）dycdyi（y）f（x，y）dx图98图99图910例1求二重积分(x2y2)d,其中D是由yx2,x1,y0所围成的区域。D解因为区域既是X一型区域，又是Y一型区域，所以可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。先对y后对x积分二筐(尸+产冲回斜吗用出+冲/含例2求二重积分f(x,y)d化为两种不同次序白累次积分，其中D是由xa,Dxb,yc,yd所围成的区域如图910所示，。解画出积分区域D,其既是X一型区域，又是Y一型区域。先对y后对x积分，则先对x后对y积分，则f(x,y)dDbdxadf(x,
14、y)dycf(x,y)dDdcdybf(x,y)dxa例3求二重积分f(x,y)d化为两种不同次序的累次积分，其中D是由yx,Dx轴，y2x所围成的区域。解画出积分区域D,如图911所示。先对y后对X积分，将区域D分成两个Di和D2,则f(x,y)dD11dx0x0f(x,y)dyf(x,y)dDf(x,y)d22xdx10f(x,y)dyidx0f(x,y)dy22dx10xf(x,y)dy图912先对x后对y积分，如图1012所小o1f(x,y)d0dyD2yyf(x,y)dx例4计算二重积分xyd,其中D是抛物线y2yx2所围成的区域。解画出积分区域DD，如图913所示，是Y一型区域,先对x后对y积分，则xydD21dy2y2yxydx2x2万yyydy458
