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1、摘要 21无穷级数求和问题的几种方法 21.1利用级数和的定义求和21.2利用函数的幕级数展开式求和 31.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 41.4逐项求极限 51.5利用Flourier级数求和 71.6构建微分方程 91.7拆项法 91.8将一般项写成某数列相邻项之差 102总结123参考文献12无穷级数求和问题的几种方法摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数 过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子， 根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧关键词：数项级数；幕级数；级数求和无穷级
2、数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表 示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注 重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题 是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循. 本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级 数的和的方法和技巧.1利用级数和的定义求和定义1若级数工气的部分和数列sj收敛于有限值S，即limS =lim广S, in sn s in=1n=1则称级数收敛，记为 un=s，此时s称为级数的和数；若部分和数数列 n = 1n = 1sj发散，则称
3、级数 un发散.n = 1例1求级数 0 - 1)qn-1，q 1|的和.n=1解： S = 1 + 3q + 5q2 + 7q3 HF (2n -1)qn-1(1)nqS = q + 3q2 + 5q3 + 7 q4 + + (2 n 3)qn-1 + (2 n 1)qn(2)(1)-(2)得：1 q n1(1 q)S = 1 + 2q (2n - 1)qn1 - q11 qn-1qnS =+ 2q (2 n 1)-n 1 q(1 q )21 q1 2qlim S =+n手 n 1 一 q (1 q)2即级数和2qS = 1q + (1-q )22利用函数的幂级数展开式求和利用函数的幂级数展
4、开式可以解决某些级数的求和问题.下面是几个重要的 幂级数展开式：例ex = lxn, 一8 x +8n!n=01=乙 xn , 1 x 11 xn=0ln(1- x)= 一 Ixn ,-1 x 1n!n=0x3 . x5%2 n-1sin x = x - 3! + 瓦+ (-1)n +,( -8 x +8)例2求工(-1)n的和.(2 n +1)!解： (-1) 工= (-1)n S + D T X 1n=0(2n +1)!n=0(2n +1)!2=8 1(-1)n1 -1I=1 (-1)n- 1 -1 (-1)2 (2 n)! (2 n +1)!2(2 n)!2(2 n +1)!n=0Jn=
5、0n=0注意到.一x3 , x 5x2 n-1sin x = x -前 + 3+ (-1)n (21)! +,( -8 x +8)1 x2 x 4x 2ncos x = 1 - 2y + 圣+ (-1)n (2 )! H ,( -8 x + 8) (-1)n n=1 (cos1 - sin1) n=0(2 n +1)!23利用逐项求积和逐项求导定理求和定理 设幂级数 an (x - x0) n的收敛半径为R，其和函数为S(x)，则在n=030 - R, x0 + R)内幕级数可以逐项积分和逐项微分.即：对(xo - R, x0 + R)内任意一 点x，有：工 jx a (x - x ) nN=
6、0 *0Eann +1n=0(x - x )n+i = jx S (x)dx契dxn=0a (x - x )n0n=0nan(x - x ) n-1 = S ( x)0 dx0x0并且逐项积分和逐项求导后的级数(显然是幕级数)，其收敛半径仍为R .xnx2x3x4x5()例3 B计算无穷级数-元+4 - 5 + Vbn n 1)+之和(x 1).解：对于级数 (-1)x = L(x 1).1 + xn =0两边从0积分到x得(-1)打=mG + x), (x 1)，n=0两边从0积分到x得 C】)(n_1)(-_-) = jx lnG +1)dt = x lnG + x)- x + lnG +
7、 x), (x 1)n +1n=0上式右边是原级数.故级数和S = xIn(1 + x)- x + ln(1 + x), (x 71722/(7i)-/(-7i) +J71 f(3)(x)sin nxdx713 _兀1f(X)=X2L f (x)cos nxdx =7C _兀n2同时j71 f(x)dx = T 2n _n6 ，这样f (x) = 4x2在-兀,兀上的Flourier级数为1亍（-1）n兀 2 + cos nx12n2n =1令x = 0，得E 土兀2 n 212n=1例74证明：工-1 k 490k=1证明:将函数f (x)=(二)2展成傅里叶级数2a = 1 j 2）2 dx = W0 兀 026a = L j 2兀（-一x）2 cos kxdx =,k 兀 02k 2bk
