《高考数学理科一轮复习经典例题——直线与平面的平行判定和性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科一轮复习经典例题——直线与平面的平行判定和性质（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、典型例题一例1 简述下列问题的结论，并画图阐明：（1)直线平面,直线,则和的位置关系如何?（2）直线，直线，则直线和的位置关系如何?分析：（1）由图（）可知：或； (2）由图（2）可知:或阐明:此题是考察直线与平面位置关系的例题,要注意多种位置关系的画法与表达措施典型例题二例2 是平行四边形所在平面外一点，是的中点,求证:平面.分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.证明：如图所示,连结,交于点，四边形是平行四边形,连结，则在平面内,且是的中位线,.在平面外,平面阐明:应用线面平行的鉴定定理证明线面平行时,核心是在平面内找一条直线与已知直线平
2、行,如何找这始终线呢?由于两条直线一方面要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知直线和交线平行,那么就可以立即得到结论.这一种证明线面平行的环节可以总结为：过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行典型例题三例3通过两条异面直线,之外的一点，可以作几种平面都与,平行？并证明你的结论分析：可考虑点的不同位置分两种状况讨论.解：（1）当点所在位置使得,（或，)自身拟定的平面平行于（或)时，过点再作不出与,都平行的平面;（2)当点所在位置，(或,）自身拟定的平面与(或)不平行时,可过点作，由于，异面,则,不重叠且相交于由于，,拟定的平面,则由线面平行鉴定定理知:，.
3、可作一种平面都与,平行故应作“个或1个”平面阐明:本题解答容易忽视对点的不同位置的讨论,漏掉第（)种状况而得出可作一种平面的错误结论.可见,考虑问题必须全面,应区别不同情形分别进行分类讨论典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面.已知:直线,平面,.求证：.证明：如图所示,过及平面内一点作平面.设,，.又，,阐明：根据鉴定定理,只要在内找一条直线，根据条件，为了运用直线和平面平行的性质定理，可以过作平面与相交,我们常把平面称为辅助平面,它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化和平面几何中添置辅助线同样,在构造辅助平面时,一方面要确认这个平面
4、是存在的，例如,本例中就是以“直线及直线外一点拟定一种平面”为根据来做出辅助平面的典型例题五例5 已知四周体的所有棱长均为求:(）异面直线的公垂线段及的长;()异面直线和所成的角分析:依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离;对于异面直线所成的角可采用平移构造法求解.解：(1)如图，分别取的中点,连结由已知，得，是的中点,同理可证是的公垂线段.在中,. .(2）取的中点,连结,则和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角.连结，在中，,.由余弦定理，得故异面直线和所成的角为阐明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同步要将转化过程简要地写出来，然后再求值.典型例题六
5、例 如果一条直线与一种平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内已知：直线，,求证:.分析：由于过点与平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外,不存在过与平行的直线，这与否认性命题,因此使用反证法证明:如图所示,设,过直线和点作平面,且,.这样过点就有两条直线和同步平行于直线，与平行公理矛盾.必在内.阐明：(）本例的结论可以直接作为证明问题的根据()本例还可以用同一法来证明，只要变化一下论述方式如上图,过直线及点作平面，设.，.这样，与都是过点平行于的直线,根据平行公理，这样的直线只有一条，与重叠.，. 典型例题七例下列命题对的的个数是()（1）若直线上
6、有无数个点不在平面内，则；(2）若直线平行于平面内的无数条直线，则;(）若直线与平面平行，则与平面内的任始终线平行；(4)若直线在平面外,则A.0个 B1个C.2个 D3个分析:本题考察的是空间直线与平面的位置关系对三种位置关系定义的精确理解是解本题的核心要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线与否在平面内来分类解:（1)直线上有无数个点不在平面内,并没有阐明是所在点都不在平面内，因而直线也许与平面平行亦有也许与直线相交解题时要注意“无数”并非“所有”.（2)直线虽与内无数条直线平行，但有也许在平面内,因此直线不一定平行.(3)这是初学直线与平面平行的性质
7、时常用错误,借助教具我们很容易看到.当时，若且，则在平面内,除了与平行的直线以外的每一条直线与都是异面直线(4)直线在平面外，应涉及两种状况:和与相交,因此与不一定平行.故选A.阐明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系,解题时更要注意分类要完整,考虑要全面.如直线、都平行于,则与的位置关系也许平行，也许相交也有也许异面；再如直线、,则与的位置关系也许是平行，也许是在内典型例题八例如图,求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交已知:直线，.求证：直线与平面相交分析:运用转化为平面问题来解决，由可拟定一辅助平面,这样可以把题中有关元素集中使用，既发明了新的线面关系,又
8、将三维降至二维,使得平几知识可以运用解:,和可拟定平面.,平面和平面相交于过点的直线在平面内与两条平行直线、中一条直线相交,必然与直线也相交,不妨设，又由于不在平面内(若在平面内，则和都过相交直线和,因此与重叠,在内，和已知矛盾）因此直线和平面相交.阐明：证明直线和平面相交的常用措施有:证明直线和平面只有一种公共点;否认直线在平面内以及直线和平面平行;用此结论:一条直线如果通过平面内一点,又通过平面外一点，则此直线必与平面相交(此结论可用反证法证明)典型例题九例9 如图,求证:通过两条异面直线中的一条，有且仅有一种平面与另一条直线平行.已知：与是异面直线求证：过且与平行的平面有且只有一种.分析
9、:本题考察存在性与唯一性命题的证明措施.解题时要理解“有且只有”的含义.“有”就是要证明过直线存在一种平面,且，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的.存在性常用构造法找出（或作出)平面，唯一性常借助于反证法或其他唯一性的结论.证明：(1)在直线上任取一点，由点和直线可拟定平面在平面内过点作直线,使,则和为两相交直线，因此过和可拟定一平面.,与为异面直线,.又,，故通过存在一种平面与平行.()如果平面也是通过且与平行的另一种平面，由上面的推导过程可知也是通过相交直线和的.由通过两相交直线有且仅有一种平面的性质可知，平面与重叠,即满足条件的平面是唯一的.阐明：对于两异面直线和，过存在一平面且
10、与平行,同样过也存在一平面且与平行.并且这两个平面也是平行的（后来可证）.对于异面直线和的距离,也可转化为直线到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种措施.典型例题十例0 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行已知：，,求证:.分析：本题考察综合运用线面平行的鉴定定理和性质定理的能力运用线面平行的性质定理,可以先证明直线分别和两平面的某些直线平行,即线面平行可得线线平行.然后再用线面平行的鉴定定理和性质定理来证明与平行.证明:在平面内取点,使，过和直线作平面交于，,.同理过作平面交于.,，.,，.又，,.又,.另证:如图，在直线上取点,过点和直线作平面和相
11、交于直线，和相交于直线.，,但过一点只能作一条直线与另始终线平行.直线和重叠又，,直线、都重叠于直线，.阐明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以互相转化的,这种转化的思想在立体几何中非常重要典型例题十一例1 正方形与正方形所在平面相交于，在、上各取一点、，且.求证:面分析:要证线面平行,可以根据鉴定定理，转化为证明线线平行.核心是在平面中如何找始终线与平行.可考察过的平面与平面的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同.证明一：如图,在平面内过作交于，在平面内过作交于，连结.，又,即. 正方形与有公共边,，.又,，四边形为平行四边形.又面，面.证明二：如图，连结并延长交于，连结.,
12、.又正方形与正方形有公共边，,.，又面,面.阐明：从本题中我们可以看出，证线面平行的主线问题是要在平面内找始终线与已知直线平行,此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等措施，具体用何种措施要视条件而定.此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”,那么题中的结论与否仍然成立？典型例题十二例12三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点.已知:,.求证：、互相平行或相交于一点.分析:本题考察的是空间三直线的位置关系,我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手,根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系.证明：,，与平行或相交.
13、若，如图,又,，.若与相交,如图,设，又，,又，直线、交于同一点阐明:这一结论常用于求一种几何体的截面与各面交线问题，如正方体中，、分别是、的中点，画出点、的平面与正方体各面的交线，并阐明截面多边形是几边形?典型例题十三例13已知空间四边形,是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线证法一：(定理法）如图由题设条件可知点、不重叠，设所在平面.和是异面直线证法二:(反证法）若和不是异面直线，则和共面,设过、的平面为(1）若、重叠,则是的中点,这与题设相矛盾（）若、不重叠,，.,、四点共面，这与题设是空间四边形相矛盾综上，假设不成立故和是异面直线.阐明:反证法不仅应用于有关数学问题的证明,在
14、其她方面也有广泛的应用.一方面看一种有趣的实际问题:“三十六口缸，九条船来装,只准装单,不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同窗们可实验做一做.也许你在实验几次后却无法成功时,觉得这种装法的也许性是不存在的那么你如何才干清晰地从理论上解释这种装法是不也许呢？用反证法可以容易地解决这个问题.假设这种装法是可行的,每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数,与36这个双数矛盾.只须两句话就解决了这个问题典型例题十四例14 已知、是不在同一平面内的三条线段,、分别是、的中点,求证：平面和平行,也和平行分析：欲证明平面,根据直线和平面平等的鉴定定理只须证明平行平面内的一条直线,由图可知,只须证明.证明：如图,连结、在中,、分别是、的中点.于是平面同理可证，平面阐明：到目前为止，
