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1、专题：函数与导数的复习分析与指导学校：人大附中 主讲人：侯立伟一、专题内容分析（一）本专题知识体系的梳理（二）本专题中研究的核心问题培养函数意识、掌握函数的思维方法、学会运用函数思想解决问题. 函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。简单地说，函数思想就是构造函数，利用函数的性质解决问题。使学生能够揭示数学问题的本质，提升数学的思维水平，增强学习能力，提高数学素养。 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，考试热点：考查函数的表示法、定义
2、域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.（三）本专题蕴含的核心观点、思想和方法1、函数与方程的思想: 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式组),然后通过解方程或不等式(组)使问题获解2、数形结合的思想:实质是抽象的数学语言与直观图形的结合，使抽象思维和形象思维
3、在解题中交互运用。通过对图形的认识，使初看很难或很繁的问题变得容易和直观，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。3、分类与整合的思想: 在研究问题时，若我们不能用同一种方法去处理，就往往将这个问题恰当地划分成若干个部分的问题，在解决了这些若干个部分问题后，整个问题就得到了解决。确定分类的标准是分类法的关键。划分时，要注意既不重复，又不遗漏。4、化归与转化的思想:就是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单的问题。转化有等价与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充要的。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正.（如无理方程化有理方程要求验根）转化能给人带来思维的
4、闪光点，找到解题的突破口。2.关于导数的内容微积分是数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，恩格斯称“微积分是17世纪三大发明之一”，是人类智慧的集中体现，微积分的出现，极大的促进了数学和科学技术的发展. 微积分在高中阶段介绍了导数、定积分等内容，为中学数学学习提供了新的方法，同时也提供了重要的思想方法，学生也可以利用导数为工具，来研究函数的性质.课标中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性
5、、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果，是经过许多数学家、思想家的艰苦努力才逐渐发展起来的关于连续性和无限小量的学说，是继欧几里得几何之后，数学中的一个最大的创造，关于微积分的辩证思想主要是：（1）常量与变量的辩证思想，（2）有限与无限的辩证思想，（3）以直代曲的辩证思想.切线概念：设Q为曲线C上不同于P点的一点，则直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近P点时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线，这时直线称为曲线在点处的切线导数的几何意义：已知曲线是函数的图象，是曲线上一点,通过割线的斜
6、率的逼近切线的斜率点沿着曲线向点无限靠近时，也就是说，那么当切线的斜率为，在学生的学习经验中，已有了圆的切线和圆锥曲线的切线的学习经历，对于曲线的切线有了初步的感受，学会用代数的方法判定曲直线和曲线是否相切.在学生的生活经验中，通过观察透镜的反射现象，能发现曲线的切线和法线的联系，困难之一是正确理解切线的本质特征：割线的极限位置.原因是学生对于切线的理解限于圆中的切线和圆锥曲线的切线二、典型考题解构关于切线概念的理解例1： 直线与函数和分别交于两点，则的最小值为_1.5 概念的辨析： (1) 公共点个数：恰与曲线有一个公共点的直线未必是切线，且切线与曲线未必只有一个公共点；(2) 判别式：对于
7、高次的或非多项式的曲线，很难用判别式的方法进行切线的判定；关于概念教学的思考：一、有关概念教学环节1.概念解构：概念的解构包括“学术解构”和“教学解构”。“学术解构”即从数学理论角度对概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析。包括的内容有：概念的内涵和外延；概念所反映的思想方法；概念的发展历史（用以说明概念的地位和作用）；概念的变式与联系（从另一个侧面说明概念的地位和作用）；概念的教育价值；等。上述内容的呈现应该达到两个目的，一是让明确“这一概念的地位”；二是解决在概念理解中可能出现的偏差，以提高对相应概念的认识水平。“教学解构”则是“学术解构”基础上对概念的教学表达，重点放在概念发生发展过程的
8、解析上，包括概念的概括过程、辨析过程（内涵与外延的变式）和概念的应用（变式应用）等，其中寻找精当的例子以解释概念是一件具有创造性的工作2概念形成：学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程。在概念形成教学中，必须注意：（1）向学生提供适当数量、适当强度的刺激模式，以便于学生分析、比较；（2）要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，并从共同属性中抽象出本质属性；（3）概括成概念后，教师应引导学生对认知结构中的新旧概念进行分化，并将新概念纳入到已有的概念系统中去3概念精致：在学习某个概念时，可能对所学概念有所拓展，有时甚至会做出某种推论，这个过程被认知心
9、理学家称为“精致”。在数学学习中，“精致”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等。它通常表现为对各种可能的特例进行剖析，分析可能发生的概念理解错误，理解概念的各种变式。4概念图式：概念图式由一些反映概念属性的观念组成，概念图式中观念的多少、观念的准确与否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习,而是要帮助学生获得概念的心理意义,即形成概念内涵的心理表象,或者说建构起良好的概念图式。良
10、好的概念图式是由一系列反映概念本质属性的观念组成。人类获取概念的主要方式是概念的形成与同化，概念的形成是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程，这是一种发现学习的过程。概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来接纳新概念的过程，这是一个接受学习的过程，它们的最终目标都是掌握同类事物的关键属性，使学生建立起良好的概念认知图式二、概念教学的基本模式采用如下的基本教学流程：三、概念教学反思模式的构建在对“你在进行数学概念教学的反思时，通常的做法是_”的问卷中发现：有超过半数的教师空白，其余教师也都是轻描淡写地写上几个字，如关注概念的形成、学生思维的发展等，没有涉及到真正的
11、反思。概念教学的反思模式反思项目评 价 方 式 与 程 度概念解构概念核心的理解对照教师用书或相关数学资料判断、分析自己在教学及设计中对概念的核心的理解是否正确？内涵外延的把握对照教师用书或相关数学资料判断、分析自己在教学及设计中对概念的内涵、外延是否明确？思想方法的渗透判断、分析自己在教学中是否为思想方法的渗透提供了合理的问题背景，是否只停留在预设的层面上？教学目标的要求对照课程标准与教师用书（或目标测试的方式），判断、分析自己的教学达到了要求中的哪个层次？概念形成原概念图的分析在教学及设计中是否有考虑学生已有的概念图式，并是否根据学生的最近发展区进行教学？问题背景的呈现呈现给学生进行归纳、
12、概括并形成概念的背景的数量是否足够？是否有正、反两方面的背景，是否由学生参与举例？概念得出的过程概念的得出是由教师自己完成，还是由学生通过对一类事物的共同本质属性进行归纳、概括而成？学生的参与度如何？概念精致概念辨析的设计概念中的注意事项是直接点出，还是通过设计适当的问题让学生自己感受、认识到并总结出来的？概念运用的落实在运用概念解决问题时，设计的问题是否能够很好地加深学生对概念的理解与掌握？概念深化的程度是否有效地结合问题深化概念，如概念变式等，是否已引导学生建立起新的概念图式？师生活动教学方法的使用对于具体的概念课采用的教学方法是否合理？能否有效地引导学生积极开展双边活动？学生能力的培养教
13、学中是否重视学生的数学能力的培养，提供给学生的问题是否具有思维量，是否给学生有足够思考的时间与空间？学生个性的发展是否关注学生的个体差异，并在教学设计时有所体现，课堂中能否把握学生的“奇思妙想”？课堂提问的时效课堂提问是否都有预设，提问是否恰时恰点，所提的问题是否都能符合学生的最近发展区？三、教学目标的分析与定位关于函数的考试要求考试内容要求层次ABC函数概念 与指数函数、对数函数、幂函数函数函数的概念与表示映射单调性与最大（小）值奇偶性指数函数有理指数幂实数指数幂幂的运算指数函数的概念、指数函数的图象及其性质对数函数对数的概念及其运算性质换底公式对数函数的概念、对数函数的图象及其性质指数函数
14、与对数函数互为反函数（且）幂函数幂函数的概念幂函数，的图象及其性质函数模型及其应用函数的零点二分法函数模型的应用关于导数的考试要求考试内容要求层次ABC导数概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义导数的运算根据导数定义求函数的导数导数的四则运算简单的复合函数（仅限于形如）的导数导数公式表导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理定积分的概念微积分基本定理函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础与其它章节在知识综合考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重一般地，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性、奇偶性、周期性、函数图象等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数的主干知识地位具体体现在以下几个方面（）与函数有关的单独的试题
