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1、word双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：BAD=2EDC。AB=AC，设ABC=ACB=，AD=AE，设ADE=AED=，其中两
2、个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角EDC=-，那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角BAD=ADC-ABC=2-2，BAD=2EDC。模型一变式、如图，AB=AC，BAD=2EDC，求证：AD=AE。如图，AD=AE，BAD=2EDC，求证：AB=AC。模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC。AB=AD，设ABD=ADB=，AB=AC，设ABC=ACB=，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角DBC=-，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角CAD=BAD-BAC=2-2，C
3、AD=2CBD。同理可证，BAC=2BDC。模型二变式、如图，AB=AC，CAD=2CBD，求证：AB=AD。如图，AB=AC，BAC=2BDC，求证：AB=AC。模型二思考、等腰ABC与等腰ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC；（3）BAD=2BCD。AB=AD，设ABD=ADB=，AB=AC，设ABC=ACB=，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角DBC=+，那么剩余的腰AC与剩余
4、的腰AD的夹角CAD=2+2，CAD=2CBD。同理可证BAC=2BDC；BAD=2BCD。模型二与模型三都可以看成点A为BCD的外心。模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？模型四、如图，等腰ABC中，AB=AC，等腰DEF中，DE=DF，图中AB与DE共线，那么剩余的腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰的夹角和剩余底与底的夹角，通过前面的方法可证CPF=2FQC。典型例题赏析例1：如图，RtABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC边上一点，连接AD、DE，若BAD=2CDE，CD=4，AE=，求AC的
5、长。例1解析：由AB=AC和BAD=2CDE，可得AD=AE=， 解ACD，可得AC=。共腰双等腰部分例2：如图，正方形ABCD，过点A作EAF=90，两边分别交直线BC于点E，交线段CD于点F，G为AE中点，连接BG，过点G作BG的垂线交对角线AC于点H，连接HF，若CH=3AH，请你探究HF与AF之间的数量关系.例2解析：由BG是直角三角形ABE的斜边中线，得BG=AG，由正方形ABCD，得BAC=45，题中已知BGH=90得BGH=2BAH，由模型二的变式可得GH=GB，为接下来固定图形起到了至关重要的作用，设AH=k，CH=3k，BC=k，连接BH，得BH=k，由GBH为等腰直角三角形
6、，得GB=GH=k，AE=2BG=k，AB=k，得BE=k，由ADFABE，DF=BE=k，AF=k，CF=k，解CFH，得FH=k，得AF=FH.共腰双等腰部分例3：如图，在菱形ABCD的对角线AC上取点E，连接BE，使BEC=60，在CD边上取点F，连接EF，且CEF=ABE，若CF=4，CE=16，求AE的长. 例3解析：本题由菱形构成，菱形四条边相等，所以不缺少等腰三角形，但是CEF=ABE这个条件不知如何使用。连接DE，ABEADE，ABE=ADE，由DA=DC，CEF=ADE，得DE=DF，设EO=k，BE=2k，DE=DF=2k，DC=BC=2k+4，CO=16-k，BO=k，勾
7、股BOC，得k=5，AE=6。例4：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为.（1）求抛物线解析式；（2）P为线段OA上一点（不与O、A重合），过P作PQx轴交抛物线于Q，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MNPM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系；（3）在（2）的条件下，连接QN并延长交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MNAE.（2）共腰双等腰部分例4解析：有已知可容易得（1）答案。（2）BAO=NMP，MA=MP，得MN=MP，得NMP为等腰直角三角形，过M作x轴的垂线，过N作y轴的垂线，可得NFMMG
8、P，设点P（t，0）,Q(t，)，由M为AQ中点，MG=，（3）共腰双等腰部分NF=MG=，所以=OG-NF=。（3）MN=MP=MQ，得NQP=NMP=45，NHQ=AHP=45，得QNH=90，得EQAB，MNAE，由M为AQ的中点，得N为EQ的中点，得AN垂直平分EQ，得AQ=AE，EAO=AEB-90=(45+AEQ)-90=AEQ-45 又AQP=AQE-45，EAO=AQP，EOA=QPA=90，APQOEA，AO=PQ=3，由Q(t，)，得，（舍），。强化训练习题1、如图：在ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC边上一点，且AD=AE，BAD=68，求CDE的度数.2、如图
9、，在ABC中，ABC=C，D、E分别在CB、AB的延长线上，连接AD、DE，且E=ADE，若BDE=50，求DAC的度数.3、如图，在ABC中，线段BC的垂直平分线交AB于点F，垂足为E，D为EF上一点，连接AD、BD、CD，若ACD为等边三角形，EF=2，求BF的长.4、如图，在四边形ABDC中，连接AD、BC，AB=BC=BD， DAC的正切值为，若AB=5，求CD的长.5、如图，在菱形ABCD中，tanDAB=，AE=AB， AHBE于点H，连接DE交AH于点G，连接BG，BG=10，求BE的长.6、如图，RtABC中，B=90，BAC=60，点E是AC边的中点，D为BC上一点，若BA=
10、BD，求sin ADE的值.7、已知，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC的中点，E为AC垂直平分线上的动点，连接CE，过E作EFCE，垂足为E，射线EF交直线AB于F，若AC=4，四边形BCEF的面积为4.5时，求AF的长.8、如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AC=AD=BC，ABC=60，AD=，CD=，求BD的长.9、如图，等边ABC中， D为直线BC下方一点，满足BDC=90，将点C沿直线BD折叠得到点E，连接DE、AE，交射线DB于点F.（1）求证：AEC=30；（2）请你猜想AE、CE、BF之间的数量关系，并证明你的结论.10、如图，在RtABC中，ACB=90
11、，点O在AB边上，OB=OC，点D在OC的延长线上，连接AD，点E在AD上，OE交AC于点F，OE=OC，ABC=CAD+30，若OF=4，DE=3，求OD的长.答案：1、CDE=682、DAC=1003、BF=44、CD=5、BE=6、sin ADE=7、AF=或AF=8、BD=89、（1）略；（2）CE+BF=AE10、OD=7共底双等腰接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。共底双等腰是指两个等腰三角形的底在同一直线上，而剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。模型一、如图，AB=AC，BD=DE，（1）求证：AB
12、D=CDE；（2）延长ED交AB于F，求证：BDC=BFE。证明：（1）AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰BD的夹角ABD=ABC-DBE=-，那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角CDE=ACB-DEB=-，ABD=CDE。（2）AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DE的夹角BFE=180-ABC-DEB=180-，那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角BDC=180-ACB-DBE=180-，BDC=BFE。模型一变式、如图，AB=A
13、C，ABD=CDE，求证：BD=DE。如图，BD=DE，ABD=CDE，求证：AB=AC。模型二、如图，点D为射线CA上一点，点E为BC上一点，AB交DE于F，若AB=AC，DB=DE，求证：（1）ABD=CDE；（2）BDC=BFE。证明：（1）AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰BD的夹角ABD=DBE -ABC =-，那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角CDE=DEB -ACB =-，ABD=CDE。（2）AB=AC，设ABC=ACB=，DB=DE，设DBE=DEB=，其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DE的夹角BFE=180-ABC-DEB=180-，那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角BDC=180-ACB-DBE=180-，BDC=BFE。模型二变式、如图，AB=AC，ABD=CDE，求证：BD=DE。如图，BD=DE，ABD=CDE，求证：AB=AC。如图，AB=AC，BDC=BFE，求证：BD=DE。如图，BD=DE，BDC=BFE，求证：AB=AC。模型三、如图，点D为射线CA上一点，点E为射线CB上一点，若AB=AC，DB=DE，求
