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1、2020年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设全集U=x|ex1,函数f(x)=的定义域为A,则UA为()A(0,1B(0,1)C(1,+)D恒成立,则a的取值范围是()A(,1)(1,+)B(1,1)C(1,+)D(1,+)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分把答案填在答题卡中相应的横线上)11已知向量,若,则= 12某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为2:3:4,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有18件,那么此样本的容量
2、n= 13某几何体的三视图如图所示,则它的表面积是 14若的展开式中常数项为43,则 15对于函数y=f(x),如果存在区间,同时满足下列条件:(1)f(x)在上是单调的;(2)当定义域是时,f(x)的值域也是,则称是该函数的“和谐区间”若函数f(x)=(a0)存在“和谐区间”,则实数a的取值范围是 三、解答题:(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16已知函数f(x)=2sin(x)cosx+2cos2x+a1()求f(x)的最小正周期;()若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为2,求a的值17某省高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“3+3”的构成模式,
3、第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S,从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计如表:选考物理、化学、生物的科目数123人数52520(I)从所调查的50名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;(II)从所调查的50名学生中任选2名,记X表
4、示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望;(III)将频率视为概率,现从学生群体S中随机抽取4名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y,求事件“y2”的概率18在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使二面角A1EFB成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)(1)求证:A1E平面BEP;(2)求二面角B一A1P一F的余弦值的大小19已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8(I)求数列an的通项公
5、式;()设Sn为数列an的前n项和,bn=,求数列bn的前n项和Tn20已知椭圆C: =1(ab0),O是坐标原点,F1,F2分别为其左右焦点,|F1F2|=2,M是椭圆上一点,F1MF2的最大值为()求椭圆C的方程;()若直线l与椭圆C交于P,Q两点,且OPOQ(i)求证:为定值;(ii)求OPQ面积的取值范围21已知函数f(x)=lnx+1,aR(1)若关于x的不等式f(x)x1在上存在极值,求a的取值范围,并判断极值的正负2020年山东省潍坊市青州市高考数学热身试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
6、的1设全集U=x|ex1,函数f(x)=的定义域为A,则UA为()A(0,1B(0,1)C(1,+)D故选:A2复数z的共轭复数为,若为纯虚数,则|z|=()A2BCD1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算【分析】设z=a+bi,则=abi,化简,再根据纯虚数的定义即可得到a2+b2=1【解答】解:设z=a+bi,则=abi,z=a2+b2,=,为纯虚数,a2+b2=1,|z|=1,故选:D3已知函数f(x)=,则f(f(1)+f(log3)的值是()A7B2C5D3【考点】3T:函数的值【分析】根据已知函数解析式,先求f(0),然后求出f(f(0),再求出f()即可求解【解答】解:由题意可得
7、,f(1)=log21=0,f(f(1)=f(0)=90+1=2f()=+1=+1=5=7故选A4如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为16,28,则输出的a=()A0B2C4D14【考点】EF:程序框图【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论【解答】解:由a=16,b=28,不满足ab,则b变为2816=12,由ba,则a变为1612=4,由ab,则,b=124=8,由ab,则,b=84=4,由a=b=4,则输出的a=4故选:C5下列命题中真命题的是()若pq是假命题,则p,q都是
8、假命题;命题p:4r7,命题q:圆(x3)2+(y+5)2=r2(r0)上恰好有两个点到直线4x3y=2的距离等于l,则p是q的必要不充分条件;若p:x1,q:1,则p是q的充分不必要条件设随机变量X服从正态分布N(3,7),若P(XC+1)=P(XC1),则C=7ABCD【考点】2K:命题的真假判断与应用【分析】,若pq是假命题,则p,q至少有一个假命题;,求得圆心到直线的距离为5,又圆(x3)2+(y+5)2=r2(r0)上恰好有两个点到直线4x3y=2的距离等于l,半径r的取值范围是4r6,即可判定;,若1,x1或x0;若x1,故p是q的充分不必要条件,随机变量X服从正态分布N(3,7)
9、,则其正态分布曲线关于直线x=3对称,当P(XC+1)=P(XC1)时,C+1+C1=6,则C=3【解答】解:对于,若pq是假命题,则p,q至少有一个假命题,故错;对于,命题q:圆心到直线的距离为5,又圆(x3)2+(y+5)2=r2(r0)上恰好有两个点到直线4x3y=2的距离等于l,故半径r的取值范围是4r6则p是q的必要不充分条件,故正确对于,若1,x1或x0;p:x1,故p是q的充分不必要条件,故正确对于,随机变量X服从正态分布N(3,7),则其正态分布曲线关于直线x=3对称,当P(XC+1)=P(XC1)时,C+1+C1=6,则C=3故错故选:D6已知P是ABC所在平面内一点,现将一
10、粒黄豆随机撒在ABC内,则黄豆落在PBC内的概率是()ABCD【考点】9F:向量的线性运算性质及几何意义;CF:几何概型【分析】根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量充要条件,得点P是ABC边BC上的中线AO的中点再根据几何概型公式,将PBC的面积与ABC的面积相除可得本题的答案【解答】解:以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC,则,得=2由此可得,P是ABC边BC上的中线AO的中点,点P到BC的距离等于A到BC的距离的SPBC=SABC将一粒黄豆随机撒在ABC内,黄豆落在PBC内的概率为P=故选C7设x,y满足约束条件,若目标函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为11,则a+b的最小
11、值为()A2B4C6D8【考点】7C:简单线性规划【分析】根据已知的约束条件,画出满足约束条件的可行域,再根据目标函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为11,求出a,b的关系式,再利用基本不等式求出a+b的最小值【解答】解:满足约束条件,的区域是一个四边形,如图4个顶点是(0,0),(0,1),(,0),(2,3),由图易得目标函数在(2,3)取最大值35,即11=2ab+3,ab=4,a+b2=4,在a=b=2时是等号成立,a+b的最小值为4故选:B8如图,在三棱锥ABCD中,AB平面BCD,ACB=45,ADB=30,BCD=120,CD=40,则AB=()A10B20C30D40【考
12、点】LW:直线与平面垂直的判定【分析】设BC=x,则AB=x,AD=2x,BD=,由此利用余弦定理能求出AB【解答】解:设BC=x,在三棱锥ABCD中,AB平面BCD,ACB=45,ADB=30,BAC=ACB=45,BAD=60,ABC=ABD=90,AB=x,AD=2x,BD=,BCD=120,CD=40,cos120=,解得x=40或x=20(舍)AB=40故选:D9已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10,记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是
13、()A(,+)B(,+)C(,+)D(0,+)【考点】KC:双曲线的简单性质【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(mn),由条件可得m=10,n=2c,再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c,a2=5c,(c5),运用三角形的三边关系求得c的范围,再由离心率公式,计算即可得到所求范围【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,(mn),由于PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|=10,即有m=10,n=2c,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得mn=2a2,即有a1=5+c,a2=5c,(c5),再由三角形的两边之和大于第三边,可得2c+2c10,可得c,即有c5由离心率公式可得e1e2=,由于14,则有则e1e2 的取值范围为(,+)故选:A10设函数,若不等式g(x2)g(ax)对一切x恒成立,则a的取值范围是()A(,1)(1,+)B(1,1)C(1,+)D(1,+)【考点】3R:函数恒成立问题【分析】根据函数g(x)的解析式,判断函数的奇偶性和单调性,得到关于a,x的不等式组,解出即可【解答】解:,g(x)是偶函数,在递减,由g(x2)g(ax)对一切x恒成立,得x2|ax|在(0,1恒成立,即|a|x|max在(0,1