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1、之中照列知促大总给（他对全党整版J第六章 数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等 比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒 序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思 想等。知识网络四、数列通项明与前项和S的关系L s =% + %+% +% =24 .已知数列%是递增数列，其通项公式为* =/J+而，则实数人的取值范围是（-3,+8）5 .数列4的前项和S. =/-4 + 1则。=题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的
2、前几项，分别写出它们的一个通项公式（1）7, 77, 777, 7777,（3）1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9-7777解析：（1）将数列变形为（10-1），3（102-1）（1031）一.,，1（10一1）将已知数列变为1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, 9+0,。可得数列的通项八4*1 +（1）公式为 an =n + - 2点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二应用an= 1;求数列通项例2.已知数列%的前项和S.，分别求其通项公式.（l）s =3 -2解析：当 =1
3、时, =加=31-2 = 1, 当 22 时,%=S“-S.t=(3-2)-(3T-2)2-3n-l又6=1不适合上式，故。一1;-( =1)( 2)三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列%的首项和递推关系，求其通项公式解析：因为。+1=*+;，所以 4-11 11 1anU an = 7； = n S9；4- 1 2 2/7 -1 2n +1an = T (z - 2 2 - 3 2/? -1以上(-1)个式相加得即：an = 1 -4 一 34 - 2 4 - 2点拨：在递推关系中若明丑=。+/(),求明用累加法，若生 = /(),求。用累乘法，若%+1=/% +q，求。用待
4、定系数法或迭代法。课外练习3设% =一 +，+-+!, 5 c 则明乜与。“的大小关系是(C ) n + 1 + 22/7 +1C. %+/ D.不能确定解：因为1 1 1%+1 _ an = Z + T72 + 2 2 + 3 /7 +1 2)7.己知数列%的通项匕誓 n- V99 N*）,则数列明 的前30项中最大项和最小项分别是An “1、出了机Xi V98解：构造函数 =1 +x-a/99X-V99由函数性质可知，函数在（-8,屈）上递减，且y1乂回 6(9,10),。10 ail 12 。30 1 “2二 解校题a9厂0最大，为最小6-2等差数列知识要点项，且b=2.递推关系与通项公
5、式2 的充要条件。；a,b,c成等差数列是2 =。+。特征：册=dn + （ad）,即:an = f（n） = kn+m,伏，加为常数）alt =kn+nu （k,加为常数）是数列成特征：S” = 2 +(q-)，即 S” = f (n) = An2 + BnS = An2 + Bn(A, S为常数)等差数列的充要条件。是数列%成等差数列的充要条件。3 .等差中项:5.等差数列%的基本性质若4,b,C成等差数列，则b称。与C,的等差中递推关系：一% = d 通项公式：%=%+(- 1)4 推广：an = am + (n - m)d 变式：4 =% -(-l)d;n-14.前项和公式S (%+)
6、 r( 1)4sn =;* =咐 + -2若加 + = p + q,贝Ij%, +4” =p+ 反之，不成立。（2）。”一= （- m）d2“ =展+联S”，S,“ 一 S“，S3” S,“仍成等差数列。6 .判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：。”+1-% =d（常数）（eN*） = 。是等差数列中项法：2%+】=牝+ %+2（叱）=%是等差数列通项公式法：a“=kn+b（&乃为常数）n。”是等差数列前项和公式法：S” = An2 + Bn（A,6为常数）= ”是等差数列课前热身2 .等差数列%中，a4+a6+as+ al0 + al2 =120, 则%-的值为（C ）3 .等差数列
7、%中，可0, Sg=，2,则前口或11项的和最大。解：: S9 = S2，S2 S9 = 0alQ + an + a12 = 0, 3c% = 0, an = 0,又q 0“为递减等差数列，510 = 5h为最大。4 .己知等差数列” 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为一110解：,Si。 S” Si。，530 S20 - - , 5110 Sl0Qy-成等差数列，公差为D其首项为Si。= 100 ,前 10 项的和为 So。= 1010x9/.100x 10+x。= 10,. D = -222又Suo - S3 = S10 + 10DS110 = 100+10 + 1
8、0 (-22) = -110 , y = 50/-98- 2+ L 2 J=-2/?2 +40/1-98=一2( - 10尸+102所以当 =1附，ymax = 102A. 14 B. 15 C. 16 D. 17解 6/q% =(。9 + 2d)2, 八 22 120= -(a9-d) = -a3 =y - = 16ck = 12, Sn 0, 024.24 + 7d0.1一一7乂 3(4” = *)13=(22 + 8d) 0/. 24 + 8d 0/. d -3从而一竺 d 0S3 = 13/ 0/. a1 0 .Sg最大。课外练习一、选择题1.已知对数列是等差数列，0=10,其前10项
9、的和S】o = 7O,则其公差d等于（D ）2.已知等差数列 %中，ck + a9 = 16, a. = L 则。等于(A )A. 15 B. 30 C. 31 D. 64解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为（夕+ 1）和（J7-D,由题意得：（V7-l） + （n-l）p/| = V7 + 12/. d = 7? -1 20n-id9 又 d 手。 1 10.-d 0或。d 1010三、解答题6.等差数列*的前项和记为S”，已知%。= 30, 6/ 20 = .求通项明;若Sn=242,求解：an =aY + (n - l)d解：口 +ag = a. +an4）= 15 A 一二
10、、填空题3.设S“为等差数列%的前项和，io = 30,20 = 50解方程组+ 9d = 30+ 19d = 504 = 12d = 2an = 2 +10组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为由 S“=+&U, S242 /r 12. 12+。1),2 = 2422解得 =11或 =- 22(舍去)7.甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运 动，甲第一分钟走2m,以后每分钟比前一分钟 多走，乙每分钟走5m ,甲、乙开始运动 后几分钟相遇？如果甲乙到对方起点后立即折 返，甲继续每分钟比前一分钟多走1加，乙继续 每分钟走5加，那么，开始运动几分钟后第二次 相遇？解：设分钟后第一次相遇，依
11、题意有：（ 一 1）。 ”2 + + 5n = 702解得 =7, = -20（舍去）故第一次相遇是在开始运动后7分钟。设分钟后第二次相遇，则：（ -1）. . ”2 + + 3 = 3x 702解得 = 15, = -28（舍去）故第二次相遇是在开始运动后15分钟10 .已知数列%中，4 = 3,前和求证：数列%是等差数列求数列%的通项公式解：: S = (7? + 1)(。” +1)-1S”+i = - ( + 2)(。+ +1)-1明+】=S+s”=；( + 2)(%+1+ 1) -(77 + 1)(4“ + 1)整理得，。“+1 = ( + l)a -1. ( + l)an+2 = ( + 2)an+l -1二.( + l)an+2 -nan+l = (n + 2)an+l - (n + V)an 2( + l)an+l = ( +1)(*2 + % )2%+】=an+2 + an数列%为等差数列。 4 = 3,= (/? + 1)4“ - 1二=24 -1 = 5二 ay - cl = 2 .X即等差数列的公差为2. an = % + (/? 一 l)d = 3 + ( - 1)- 2= 277 + 1+ (2 +1)(2 + 3)1(1 1 2 1 2 +1 2 + 3, 11111 1 1 、
