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1、基础题组练1.设随机变量X 服从正态分布 N(0, 1)，若 P(X1) = p，贝U P( 1X0) = P(X1) = P(X 1) = p，所以 P( 1X0) = P(X0) P(X 11)=2 p.2口袋中有编号分别为1 , 2, 3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A 1C 2込B.38C. 2D.3解析：选D.因为口袋中有编号分别为1, 2, 3的三个大小和形状相同的小球，从中任1 1取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为 2, 3，所以P(X = 2) = & = - , P(X = 3)C33=旦? = 2,所以 E(X)= 2
2、X - + 3X -=-C2333 33. (2018安徽合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100, 4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在98 ,104内的产品估计有()(附：若 X 服从 Ng, d 2),贝U P(卩一齐X 叶扌=0.682 7, P(厂2(X 叶 2(= 0.954 5)A . 4 093 件B . 4 772 件C. 6 827 件D. 8 186 件解析：选D.由题意可得，该正态分布的对称轴为 x= 100,且(=2,则质量在96, 104 内的产品的概率为 P(2oX叶2= 0.954 5，而质量在98
3、 , 102内的产品的概率为 Pg (X叶 = 0.682 7,结合对称性可知，质量在 98, 104内的产品的概率为 0.682 7 +0.954 5 0.682 72=0.818 6,据此估计质量在98 , 104内的产品的数量为10 000X 0.818 6= 8186 (件).4. 已知随机变量 X +8，若XB(10, 0.6)，贝U E(n , D(n分别是()A . 6, 2.4B. 2, 2.4C. 2, 5.6D. 6, 5.6解析：选B.由已知随机变量 X+n= 8，所以n= 8 X.因此，求得 E(n = 8 E(X) = 8 10X 0.6= 2,D( n = ( 1)
4、2D(X)= 10X 0.6X 0.4 = 2.4.5. 某篮球队对队员进行考核，规则是每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮 1次投中的概率为2.3如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数 X的期望是()8A. 3B.3D-C. 281解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P= 9,未通过的概率为石.由题意可知，甲3个轮次通过的次数 X的可能取值为0, 1, 2, 3,贝U P(X= 0) = 1 =丄, 197298 1 224P(X= 1) = CXX =9 97292 18 、/ 1192P(X= 2) =
5、 C2XX =,9 97299 = 729.=512X0123P124192512729729729729所以随机变量X的分布列为数学期望 E(X) = 0X 盘 + 1X 729 + 2X船 3X 5883.6. (2019 宁五校联合体模拟)已知随机变量 X服从正态分布 N(72 , 4)，贝U P(X76)等于.(附：(P(厂(X 叶 0 = 0.682 7, Pg 2(X 叶 2扌=0.954 5)解析：因为随机变量X服从正态分布N(72, 4),所以 尸72,0 = 2,所以P(70X74)=0.682 7 , P(68X76)= 0.954 5,所以 P(X76) = 0.022
6、75,所以 P(X76) = 0.158 65 + 0.022 75 = 0.181 4.答案：0.181 47. 若随机变量E的分布列如下表所示，E( 3 = 1.6，则a b =.30123P0.1ab0.1解析：易知 a, b 0, 1,由 0.1 + a+ b+ 0.1 = 1，得 a+ b = 0.8,又由 E（ 3= 0x 0.1 + 1 x a+ 2x b + 3x 0.1 = 1.6,得 a + 2b = 1.3，解得 a = 0.3, b= 0.5，贝U a-b =- 0.2.答案：0.2&某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动参选的志愿者回答三个问题，其
7、中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设3为回答正确的题数，则随机变量3的数学期望E（ 3 =解析：由已知得3的可能取值为0，1，2，3.K K 22p(3= 0)= 1x 1x 3=祛P( 3= 1)= -x 1 x 2+ lx1 x- + x-x1 =，3 u 22322322312?1121111114P( 3= 2) = x _ x _xx| x_x_=.P( 3 2丿 223223223121 1 1P( 3= 3) = 1 x 2 x =2 5414所以 e(3 =0x 12+1 xpi2xpi3x 12 = 3.答案：339. （2019西安模拟）一个盒子中装有大量形状
8、、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5，15，（15，25，（25，35，（35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取 3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为 X，求X的分布列 和数学期望.（以直方图中的频率作为概率 ）解：（1）由题意，得（0.02 + 0.032 + a + 0.018） x 10= 1，解得a= 0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克,而 50个样本中小球重量的平均数为 x = 0
9、.2 x 10+ 0.32 x 20 + 0.3 x 30 + 0.18 x 40 = 24.6(克).故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6 克.1(2)该盒子中小球重量在5 ,15内的概率为5,1则XB 3, 5，X的可能取值为0, 1 , 2, 3.p(x= 0) = c3 1364P(X= 1) = c3 1P(X= 2) = C3 11252 _ 48 _ 125,112125P(X= 3) = C3 11125.所以X的分布列为X0123P6448121125125125125所以E(X)=0X卷+1X卷+2X卷+3X击=313(或者 E(X) = 3X 5= 5
10、.)下周二两天内采基地收益如下表10. (2019长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、 摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质, 所示:周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益/万元2015107.5若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1) 若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2) 该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由.解：(1)设下周一无雨的
11、概率为p,由题意得，p2= 0.36,解得p= 0.6,基地收益 X 的可能取值为 20, 15, 10, 7.5，则 P(X = 20) = 0.36, P(X = 15)= 0.24, P(X =10) = 0.24, P(X = 7.5) = 0.16.所以基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16E(X) = 20X 0.36 + 15X 0.24 + 10X 0.24+ 7.5 X 0.16= 14.4(万元),所以基地的预期收益为14.4万元.(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益 E(Y) = 20X 0.6+ 10X 0.4-a=
12、 16 -a(万元),E(Y) - E(X)= 1.6- a(万元).综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时,额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以.综合题组练1某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理.(1) 若鲜奶店一天购进 30瓶鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位:瓶，n N)的函数解析式；(2) 鲜奶店记录了 100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日 需求量为25瓶时，频数为5):以100天记录的各
13、需求量的频率作为各需求量发生的概率. 若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望； 若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由.解：(1)当 n30 时，y= 30X (7- 3) = 120；7n 90, 0w nW 29当 nw29 时，y= (7 -3)n 3(30- n)= 7n- 90.故 y=, n N.120, n30(2)X 的可能取值为 85, 92, 99, 106, 113, 120,P(X= 85) = 0.05,P(X= 92) = 0.1 ,P(X= 99) = 0.1 ,P(X= 106) = 0.05,P(X= 113) = 0.1,P(X= 120) = 0.6.X的分布列为X859299106113120P0.050.10.10.050.10.6E(X) = (85 + 106) X 0.05 + (92 + 99 + 113)X 0.1 + 120X 0.6= 111.95.购进29瓶时，当天利润的数学期望为t= (25 X 4 4 X 3) X 0.05+ (26 X 4-3 X 3) X 0.
