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1、授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月11日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称：第6章 微分方程第1节 微分方程的概念教学目的：1、理解微分方程及相关概念2、初步认识根据实际问题建立微分方程的过程教学重点：微分方程及相关概念教学难点：微分方程相关概念的正确理解教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P250 3、4、5教案实施效果追记：第6章 微分方程第1节 微分方程的概念复习及课题引入（时间：5分钟） 我们在中学学习并求解过什么方程？它们的解有什么特点？讲
2、授新内容（时间：90分钟） 下看两个例子例1 设作直线运动的物体的速度是，当，物体经过的路程为，求物体的运动规律。解 设物体的运动方程为，由导数的物理意义有 （1）根据题意，函数还应满足条件 （2）对方程（1）两端积分得 （3）其中是任意常数。把条件（2）代入（3）式得即，于是得所求物体的运动方程为例2 一条曲线通过点，且该曲线上任一点处的切线斜率为，求这曲线的方程。解 设所求曲线为，由导数的几何意义有 （4）由于曲线过点，因此有 （5）对方程（4）两端积分得 （6）其中为任意常数。把条件（5）代入（6）式得即，于是得所求曲线的方程为两个例子中的方程（1）和（4）都含有未知函数的导数，对这样的
3、方程我们有定义。定义：凡含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。注意：在微分方程中，未知函数和自变量可以不出现，但未知函数的导数和微分必须出现。例如：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。如果把函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解，求微分方程的过程称为解微分方程。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。如果微分方程的解中不含有任意常数，则此解称为特解。特解通常可按问题所给条件从通解中确定任意常数的值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件。如果微分方程是一阶的，则初始
4、条件为；如果微分方程是二阶的，则初始条件为，。例3 把质量为的物体从地面以初速度竖直上抛，设物体只受重力作用，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为，根据牛顿第二定律有即 （1）据题意，函数还应满足两个条件对（1）式两端积分一次得 （2）再积分一次得 （3）其中、都是任意常数。将条件代入（2）式，得，将条件代入（3）式得。把、的值代入（3）式得所求物体的运动方程。小结：（时间：5分钟）1.本节我们学习了微分方程及其相关的概念，要注意微分方程的解与以往学过的方程不同，它的解为函数而不是常数。2.微分方程的通解中含有的任意常数的个数是指独立的任意常数的个数，它与微分方程的阶数相同。授课时间： 2
5、007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月16日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程第2节 可分离变量的微分方程教学目的：1、掌握可分离变量微分方程的解法2、理解实际问题中建立微分方程模型并求解的过程3、了解齐次微分方程的解法教学重点：解可分离变量的微分方程教学难点：实际问题中建立微分方程教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P258 2（双）、3（单）、4教案实施效果追记：第6章 微分方程第2节 可分离变量的微分方程复习及课题引入（时间：5分钟） 什么叫
6、微分方程？什么叫微分方程的阶？解？通解？特解？讲授新内容 一、可分离变量的微分方程（时间：70分钟）形如的微分方程称为可分离变量的微分方程。可分离变量的微分方程的解法如下：（1） 分离变量，得（2） 两端积分，得（3） 求出积分，得通解其中与分别是和的一个原函数。其基本原则是，把含有变量及其微分的式子分离在等式的一边，而把含有变量及其微分的式子分离在等式的另一边，然后将两端积分，求出通解。这种方法叫做分离变量法。例1求微分方程的通解。解 将已给方程分离变量，得两边积分，得 即 （1）于是 即 因为仍为任意常数，令C=0，当C=0时，得到它是原方程的一个解，得方程的通解为。以后在运算中为方便起见
7、，可把（1）中的写成，只要最后得到的C是可正可负的任意常数即可。例2 解方程解原方程可改写为分离变量，得两端积分，得从而，原方程通解为为了简化通解的表示形式，令于是有或这就是所求的通解。例3 解方程解 将已给方程改写为 ，分离变量，得 ，两边积分，得 ， ，即 令 ，于是有 ，化简，得 .这就是所求微分方程的通解。例4 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零。求降落伞下降速度与时间的函数关系。图9-1解 (1) 建立方程设降落伞下落速度为，降落伞在空中下落时，同时受到重力与阻力R的作用（如图9-1），重力大小为，方向与一致；阻力大小为，方向与
8、相反，从而降落伞所受外力为根据牛顿第二运动定律,得函数应该满足的方程为 (2)求通解 将上式两边同时除以，同时乘以 方程变形为 两端积分 得 ， 即 令 ，得（3）求特解据题意设初始条件,并代入上式，得C=于是所求特解为即降落伞下降速度与时间的函数关系为=)由上式可以看出，随着时间t的增大，速度逐渐接近于常数，且不会超过，也就是说，跳伞开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动。例5 下述人口阻滞增长模型，是在马尔萨斯人口模型基础上修改得到的一个改良模型其中为年的人口总数，为最大人口载容量，为生命系数，求人口总数函数。 二、齐次方程（时间：20分钟）如果一阶微分方程中的函数可化为，这类方程称
9、为齐次微分方程。齐次方程 （1）可利用分离变量法求解，具体做法如下： 令 ，则 代入（1）得即 当 时，分离变量得 两端积分，得齐次微分方程的通解。例6 求微分方程的通解。 解 原方程变形为 令，则把它们代入上式，得 即 这是已分离变量的方程，两端积分，得即 将回代，得原方程的通解为.小结：（时间：5分钟）1. 本节我们学会了可分离变量的微分方程的解法，注意化简其解的技巧。2. 微分方程在实际问题中有着广泛的应用，我们认识了几个实例。3. 齐次微分方程是一类可化为可分离变量的微分方程，可了解其解法。授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月18日
10、 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程第3节 一阶线性微分方程教学目的：1、掌握一阶线性齐次微分方程的解法2、掌握一阶线性非齐次微分方程的解法3、了解实际问题中的一阶线性微分方程教学重点：求解一阶线性齐次、非齐次微分方程教学难点：实际问题中建立微分方程教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P265 2（双）、3教案实施效果追记：第6章 微分方程第3节 一阶线性微分方程复习及课题引入（时间：5分钟） 什么叫可分离变量的微分方程？如何求解？讲授新内容（时间：90分钟）形如 （1）其中和都是的连续
11、函数，称为一阶线性微分方程。当时方程（1）称为一阶线性齐次微分方程；当时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程。例如 下列一阶微分方程 所含的和都是一次的，所以它们都是线性微分方程。这三个方程中，第一个方程可化为，前两个是非齐次的，而最后一个是齐次的。 又如，下列一阶微分方程不是的一次式）；所含项，它不是和的一次式）；不是的一次式），都不是一阶线性微分方程。为了求方程（1）的解，我们先讨论对应齐次方程 （2）的解。方程（2）是可分离变量的微分方程。分离变量后，得 两边积分，得 （3）关于上式要作一点说明，按不定积分的定义，在不定积分的记号内包含了积分常数，在上式将不定积分中的积分常数先写了出来，这只是为了方便地写出这个齐次方程的求解公式。因而，用上式进行运算时，其中的不定积分只表示了的一个原函数，在以下的推导
