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1、数列中的易错问题分析一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有：(1)已知a.与Sn的关系，求通项an， a.n 1注意分清n =1与n _2两种情况的讨论。n H2形如an+1 -a n=f(n)的递推数列可用迭代法或累加法，求通项 an形如a=f(n)的递推数列可用累乘法，求通项 anan形如an+1二kan的递推数列可构造等差或等比数列求通项an(一) 概念理解错误例题1 :两个数列fan?与的前n项和分别为Sn,Tn ，且Sn :Tn =(5n 13): (4n5)，则印。：0。=()易错警示：Sn =(5n，13)k,Tn =(4n 5)k 则=Sn - Sn. =5k,
2、bn =人 -丄=4k所以 a10: bio =4:3，故选 C,从 Sn ：Tn n(5n -13) :(4n - 5)可知，比值 Sn : (5n - 13) =：(4n 5)随着项数n的变化而变化，不能设为常数k，这里忽略了项数n的可变性而致错。解析：设 Sn =(5n 13)nk,Tn = (4n 5)nk，贝Uan 二 Sn -Sn二(10n 8)kbn -Tn -Tnj =(8n 1)k，其中 n 一2.an :bn -(10n 8):(8n 1)所以 a10: b10 =4:3，故选 D。例题2:已知等差数列 春的前m项，前2m项，前3m项的和分别为Sm.S2m.S3m，右 Sm
3、 - 30, S2m = 90，求 S3m易错警示：由订为等差数列，得出Sm.S2m.S3m为等差数列的结论是错误的解析：设数列的公差为d，则Sm = a1 a2 a3 amQm = aia2 a3 a2m a2m 1 a3mc / m 1Sm =(印)m3m1、S2m -Sm - (ai2 )m5m1、S：3m -S2m，2 ) m所以Sm,S2m -Sm,S3m -S2m是公差为md的等差数列,所以 2 S2m _ Sm - 5m S3m - S2m即 2 (90 -30) =30 Ssm -90S3m - 180（二）公式应用错误例题3:已知数列aj，a1 =1耳1 - a. =2n，求
4、数列CaJ的通项公式易错警示：错因一：知识残缺，忽视n=1时的检验。错因二：未明确规律，累加时误认为是n个式子相加而导致求和错误解析：由a- -a. =2n得a2 - 二 2a3 _ a 2a4 _ a3 二 2将这n-1个式子相加，得an -a2 2223 -2nJan - 2-1，当n=1时，此式子仍旧成立。所以通项公式为.an=2n-1 例题4:已知数列 订鳥的前项和为Sn，Sn =3n -2求数列1an?的通项公式易错警示:在利用公式an二Sn -Snj解题时一定要注意只有n_ 2时才能成立，当n=1要单独验证，这一点易被忽视，从而得出a3n4错误结论解析：当 n=1, a S| =
5、1当 n _2 时 an-S =3n -2 -(3心 -2) =2J3n,”1 (n = 1)由于ai =1不适合上式，因此数列 啣 的通项公式为a. nJ还3心(n2)(三) 审题不细例题5：在等差数列aj中，a. =3n-31,记b.，求数列bj的前30项和。易错警示：这里易错点是 鼻昇也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的a.的正负号进行讨论，当n乞10时，a. 0, n_11时，a.0 0解析:S30 =| a1 | | a21 | a31 - | a30 |=+a1 七2 七3.七.力1 0)*a (1力12吉 仁+古.)_ _1 0 亀 + a 1 0120 C1a =7?5_
6、2 2 =(四) 用特殊代一般例题 5:求数列 1,3a,5a2,7a3,.(2 n -1)anJ,.(a =0)的前 n 项和。易错警示：由于 a. =(2n -1)anJ (n N*)，S. = 1 3a 5a2 7a3 (2n3)an，(2 n1)anaSn = a 3a2 5a3 a 4 .口-(-3 )n- a(n21 )两式相减得1 -an(1-a)(1 -a)Sn =1 2a 2a2 2a3.2anJ -(2n -1)ann1 1-anL1-a-(2n - 1)a -1(2n -1)an 11-a解析：上述解法只适合的情形，事实上，当S1 3 5 7 . (2n -3) (2n
7、-1)n(1+ 2 1f1 an(2n 1)an +12L2 ,a1所以 Sn= (1a)21-an2, a =1(五)例题：忽视分类讨论思想致误设等比数列 牯的前n项和为Sn，若S3 + S6=2S9，求数列的公比q。易错警示：由，整理得时，应有。在等比数列中，是显然的，但是公比q是可以为1的，因此在解题时应先讨论公比q能否为1。解析；若 q = 1，则有 S3 = 3a-, S6 = 6a-, S9 = 9a!，但是 ai = 0 即得S3 S6 - 2S9与题设矛盾，故q 369又由题意得S3=2S9即抄9 劑9 =2乂 91 -q 1 -q1 -q.q3(2q6 -q3 -1) =0
8、即(2q3 1)(q3 -1) =0因为q =1，所以q3 -1 =0所以2q3 1=0，解得q -2二、数列综合题易错题分析例题 1:已知 f (x)二 a1x a2x2 a3x3 anXn，对任意 n N * 都有 f (1) = n2，(1) 证明：若n为正偶数有f(-1) = n1(2) 求证：f()：32易错警示：(1)已知数列Sn，求an。要分n=1和n = 1 ；( 2)若玄？是等差数列, 也？是等比数列，求的前n项和时用错位相减，但是不要漏掉最后一项。解析：7 f(1)= n2,2二 f(1)=a1 时,a n = Sn - Sn 4 = 2n-1当n=1时也适合上式所以 an
9、 = 2n -1f (x) = x 3x2 5x3 (2 n -1)xn(1当n为正偶数时f(_1)一1 3一5 7 -9 11 -2n -1 =n诲冷 3(1)2 5(-2)3 7(2)4(2n3)(扩(2n1)g)n2f(2 中 电 3)窖)-/ ) .n. 字 n3)()；f2 1)()(-)f(-H- 2 (-)2 (-)3 (-)4 (-)n -(2n 1)(-)n1222222 2 2即f(1H2 1(弓 Q)2 Q)3 白心-(2门-1)(霉-1 2 2 2 2 2 2(2 - 1-2 C ) = 31(3+2n)(1)、3例题2:已知数列唧是递增数列且an二n2 n，求实数的取
10、值范围。易错警示：因为an = n2 n为n的二次函数，它的对称轴方程为 n =，所以若使数列为递增数列，则必须使1，即得，_-2。本题的陷阱“在1，2 2它只是数列为递增数列的充分条件， 并非为必要条件，所以解此题用此法是错误 的。解析：因为数列 W是递增数列所以an an 1对所有的正整数都成立。即n2-(2 n+1)又因为n N *所以 -3例题3:已知数列为等差数列，log2(an-1)nN*)且a3,a9。(1)求数列的通项公式。an 1 an(2) 证明：一1丄丄-a? a1838284838584易错题分析：错因一：flog2（an-1）?是等差数列，只要知到首项与公差可知log
11、2（an -1），学生对概念理解不透，往往只想求log2（an-1）的通项公式，而忽视 从三项入手。错因二：设bn =log2（an-1），fbn?是等差数列，由题意得Db，而 不是bi,b2，此处容易发生审题错误，以为求的是 bi,b2。解析：（1）设，则b屛是等差数列，所以fbn?是以1为首项，以1为公差的等差数列.bn = n即 log2（an -1） = n.an -1 =2n. an =2n 1证明：an.1 -an =2n1 1 -(2n 1) = 2n，即一1补an41 an21111 1+ a2 _a1a3 _a2a4 _a3a5 _a4an 1 _ an1-1丄+丄+2 22 23 1,2_2n 十 112* 1 2*12
