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1、课时分层作业 五十三曲线与方程一、选择题(每小题5分,共35分)1.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是()A.y=xB.y=|x|C.x2+y2=0D.y2=x2【解析】选D.设动点的坐标为(x,y).因为动点到两坐标轴的距离相等,所以|x|=|y|即y2=x2,动点的轨迹方程是y2=x2.2.(2018南昌模拟)已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线【解析】选D.由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线.3.(2018张家口模拟)设线
2、段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,=+,则点M的轨迹方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),由=+,得(x,y)=(x0,0)+(0,y0),则解得由|AB|=5,得+=25,化简得+=1.【变式备选】(2018福州模拟)已知F1, F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.+=1(y0)B.+y2=1(y0)C.+3y2=1(y0)D.x2+=1(y0)【解析】选C.依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,
3、y),由三角形重心坐标关系可得即代入+=1,得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y0).4.在平面直角坐标系xOy中,已知O(0,0),A,曲线C上任一点M满足|OM|=4|AM|,点P在直线y=(x-1)上,如果曲线C上总存在两点到点P的距离为2,那么点P的横坐标t的范围是 ()A.1t3B.1t4C.2t3D.2t4【解析】选A.设M(x,y),因为M满足|OM|=4|AM|,x2+y2=16,化简得:(x-4)2+y2=1,所以曲线C:(x-4)2+y2=1,设点P(t,(t-1),只需点P到圆心(4,0)的距离小于2+r即可.所以(t-4)2+2(t-1)2(2+1)2.解得:1t|AB
4、|,所以C点轨迹是以A,B为焦点,6为长轴长,4为焦距的椭圆,去掉长轴端点.【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P37习题2.1A组T3“两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程”.【变式备选】在平面直角坐标系中,已知定点A(0,-),B(0,),直线PA与直线PB的斜率之积为-2,则动点P的轨迹方程为()A.+x2=1B.+x2=1(x0)C.-x2=1D.+y2=1(y0)【解析】选B.设动点P(x,y),由题意可知=-2(x0),化简得+x2=1(x0).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018贵阳模拟)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛
5、物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是_.【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为+=1(y0).答案:+=1(y0)9.在ABC中,BC=4,且AB=AC,则三角形ABC面积的最大值为_.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0),设点A的坐标为(x,y),由题意有:=,整
6、理可得:(x-4)2+y2=12,结合三角形的性质可得点C的轨迹方程为以(4,0)为圆心,2为半径的圆除去其与x轴的交点,据此可得三角形ABC面积的最大值为S=42=4.答案:410.已知椭圆+=1与x轴交于A,B两点,过椭圆上一点P(x0,y0)(P不与A,B重合)的切线l的方程为+=1,过点A,B且垂直于x轴的垂线分别与l交于C,D两点,设CB,AD交于点Q,则点Q的轨迹方程为_.【解析】椭圆+=1,可得A(-3,0),B(3,0).由x=-3代入切线l的方程+=1,可得y=,即C.由x=3代入切线l的方程+=1,可得y=,即D.可得直线CB的方程为y=(x-3),直线AD的方程为y=(x
7、+3),可得y2=-(x2-9),结合P在椭圆上,可得+=1.即有9-=.代入可得,+y2=1(x3).答案:+y2=1(x3)【变式备选】已知过点A(-2,0)的直线与x=2相交于点C,过点B(2,0)的直线与x=-2相交于点D,若直线CD与圆x2+y2=4相切,则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为_.【解析】设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,则直线AC,BD的方程分别为:y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得:C(2,4k1),D(-2,-4k2),则:kCD=k1+k2,直线CD的方程为:y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得:(k1+k2)x-y+2(k1-k2
8、)=0,直线与圆相切,则:=2,据此可得:k1k2=-,由于:y=k1(x+2),y=k2(x-2),两式相乘可得:y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1(y0).答案:+y2=1(y0)1.(5分)(2018南昌模拟)已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知:|PF1|+|PF2|=4,故动点P的轨迹是以定点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,
9、故其方程为+=1.【变式备选】设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆【解析】选A.由题意知动点C满足:到定点(0,3)的距离比到定直线y=0的距离多1,故其到定点(0,3)与到定直线y=-1的距离相等.所以点C的轨迹为抛物线.2.(5分)(2018洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且=1,则点P的轨迹方程是 ()A.x2+3y2=1(x0,y0)B.x2-3y2=1(x0,y0)C.3x2-y2=1(x0,y0)D.3x2+y2=
10、1(x0,y0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a0,b0,由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点Q(-x,y),故由=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1,将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).3.(5分)(2018承德模拟)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_.【解析】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|M
11、A|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2|MC1|,故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x-1).答案:x2-=1(x-1)4.(12分)如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)PAB的周长为10.(2)圆P与圆A外切,且过B点(P为动圆圆心).(3)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆
12、圆心).【解析】(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=64=|AB|,故P点轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=.因此其轨迹方程为+=1(y0).(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即a=,c=2,b=,因此其轨迹方程为4x2-y2=1.(3)依题意,知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此其轨迹方程为y2=-8x.5.(13分)在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0)
