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1、2014年第十一届五一数学建模联赛承 诺 书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们授权五一数学建模联赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，
2、在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为：参赛组别（研究生或本科或专科）：所属学校（请填写完整的全名）参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 年月日获奖证书邮寄地址：邮政编码2014年第十一届五一数学建模联赛编 号 专 用 页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：评阅记录评阅人评分备注裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：2014年第十一届五一数学建模联赛题 目 对黑匣子落水点的分析和预测 摘要本文通过对飞机以及黑匣子受力
3、情况进行分析，构建正交分解模型，得出飞机的坠落轨迹和黑匣子的落水点，及黑匣子在水中的移动情况。问题一要求在考虑空气气流影响的前提下，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。本文对飞机失去动力后的全过程建立动力学方程：然后对动力学方程进行正交分解，在水平和竖直方向上分别进行分析，根据伯努利方程求得升力的计算公式，得出飞机在刚刚失去动力时，升力大于重力，所以飞机会先上升一段距离，随着水平速度的减小，升力也逐渐减小，然后飞机再下降，通过模拟计算可以得出当飞机坠落至失事点下10000时，飞机坠入海面，其飞行速度为515.994，飞机向东北方向飞行了28697。问题二要求建立数学模型，描述黑
4、匣子在水中沉降过程轨迹，并指出它沉在海底的位置所在的区域范围。由于不用考虑洋流，黑匣子所受到的力中仅有水的阻力是变化的，其重力和浮力始终保持恒定，根据黑匣子的移动速度，得出相应的阻力和加速度。在不同的速度范围内，使用不同的阻力公式，计算出相应的移动距离并作出轨迹图。发现在水平方向仅漂出161.095，速度几乎为零，因此黑匣子在区域内。问题三要求描述黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000，2000和3000时离落水点的方位。根据问题一中得出的结果，可以大致判断出黑匣子的经纬度，查得当地的洋流为南赤道暖流，为风海流，仅在海面表层运动，因此也仅需要在海面下300考虑洋流的影响。经过计算发
5、现洋流对黑匣子漂流方向的影响极小，速度上的影响也很小，在1000之下的过程中也仅做垂直运动。关键词 正交分解模拟计算 微分方程伯努利方程一、问题背景和重述1.1问题背景黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，里面装有飞行数据记录器和舱声录音器，它能记录各种飞行参数，供事故分析和飞机维修参考使用。黑匣子记录的参数包括：飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等1作为飞机数据客观、真实、全面的记录者，它能把飞机停止工作或失事坠毁前半小时的有关技术参数和驾驶舱内的声音记录下来，它是
6、飞机失事后查明事故原因的最可靠、最科学、最有效的手段。伴随着航空事业的发展，黑匣子在飞机日常安全维护、飞行状态监测、消除事故隐患以及故障定位方面也发挥着越来越重要的作用，甚至可以说充当着飞行过程中不可或缺的角色。1.2问题重述假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。请建立模型求解以下问题：1、 假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。2、假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉
7、降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示(见附件1)，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。3、考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000，2000和3000时离落水点的方位。二、问题分析2.1问题一的分析问题一要求根据题中给出的已知条件，假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。对于问题一，本文对飞机在发生事故时突然失去
8、动力后的飞行情况进行正交分解，在水平方向上，考虑空气阻力对飞机飞行的影响2，在竖直方向上考虑飞机自身的重力、空气阻力以及升力对飞机飞行的影响到空气阻力和升力是随着速度而不断变化的，因此本文又对飞机飞行的每个阶段进行微分计算，进而得出每个时间点飞机在水平方向和竖直方向上的位置，从而得出飞机坠落轨迹和黑匣子的落水点。2.2问题二的分析问题二要求根据题中给出的已知条件，假定黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。对于问题
9、二，当黑匣子落水后，在它整个的下潜过程中不需要考虑洋流因素的影响，所以在水平方向上只受水的阻力3竖直方向上受到黑匣子自身的重力、海水的浮力以及阻力的影响。因此本文可以对黑匣子的受力情况进行正交分解，由于海水的阻力较大，所以海水阻力变化的临界值较小，因此在竖直方向上的阻力会有明显变化，所以在竖直方向上要分段考虑。 2.3问题三的分析问题三要求根据题中给出的已知条件，考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型，描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000，2000和3000时离落水点的方位。问题三是在问题二的基础上加入了对洋流因素的考虑，本文可以结合问题一中黑匣子
10、的落水点，查询资料得到当地的气候特征与洋流种类，对问题二的模型进行优化，进而得出在考虑洋流流动时，黑匣子的轨迹方程。然后根据得出的优化模型将问题三给出的数据分别代入所建的新模型中，进而求得当黑匣子沉入水中不同的深度时距离落水点的具体方位4。三、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，现对一些客观存在但影响可忽略不计的因素提出以下几点假设：1、假设飞机在失去动力之后仍能保持平衡；2、假设当天气候正常，晴朗无风；3、假设飞机坠海解体时，爆炸对黑匣子的速度无明显影响；4、假设当黑匣子在海底移动时，可以将其视作质点的移动；5、假设飞机坠入海中后才解体，且解体时不会对黑匣子的速度产生影
11、响；6、假设洋流的流速及流动方向比较稳定，在短时间内不会发生太大的变化；7、假设黑匣子在海底移动时不会受到鱼类等障碍物的影响。四、符号说明和名词解释4.1符号说明为了便于问题的求解，现将本文中出现的符号进行解释说明：符号符号说明坠落时间升力系数空气阻力空气阻力系数黑匣子在水中的水平运行速度纵向距离欧拉常数空气密度黑匣子的面积黑匣子在水中的竖直运行速度4.2名词解释1、类平抛运动：物体水平抛出后，在水平方向上作匀速直线运动（不计空气阻力）（与平抛运动一样），而在竖直方向上的运动，不仅受到重力作用，还受到竖直方向上的其他力的作用5；2、正交分解：将一个http:/ （1）其中， 为流速， 为流管的
12、截面面积。由此方程我们可以得到这样一个结论：对于同一流管，截面积越小，流速越大；截面积越大，流速越小。通过连续性原理和功能守恒原理推导出的伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。它表示理想流体作定常流动时，应遵守能量守恒定律，其数学表示为 （2）其中，为此处流体的压强，为此处流体的密度，为此处流体的流速，为此处距基准面的高度，为重力加速度。由此方程可以得到一个结论：同一流管等高处两点，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。设机翼前方气流的速度为压强为，机翼上部气流流速为，压强为，机翼下部流速为，压强为，空气密度为。由伯努利方程（2）式得： （3） （4）（3）-（4），得到机翼上下的压力差为： （5）设机翼的面积为，获得的升力为,则有 （6）另外，由连续性方程（1）式可以知道，分别在机翼的上下方各取一个小流管，则有 （7） （8）由（7）和（8）式可以发现，并且联系（6）式可得出，加以综合可以得到，不妨假设这个系数为，则得到在（6）式得基础上得出的新方程 （9）经过查阅资料（王家楣流体力学第十二章 机翼理论）可得到关于升力系数的相关介绍，其定义为
