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1、立体几何中的轨迹问题在立体几何中， 某些点、 线、面依一定的规则运动， 构成各式各样的轨迹， 探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题其一般方法有：1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的
2、均值定理等，求出最值轨迹问题S【例 1】 如图，在正四棱锥 S ABCD 中，E 是 BC 的中点，P 点在侧面 SCDG内及其边界上运动，并且总是保持PEAC则动点 P 的轨迹与 SCD 组成的P相关图形最有可能的是()DFCSSSSM N EOPPABPC DCDC DPCDCDAB解析： 如图，分别取CD 、SC 的中点 F、G，连结 EF 、EG、 FG、 BD 设 AC 与 BD 的交点为 O，连结 SO，则动点 P 的轨迹是 SCD 的中位线 FG由正四棱锥可得SB AC， EF AC又 EG SB EGAC AC平面 EFG ， P FG ， E平面 EFG， AC PE另解：
3、本题可用排除法快速求解B 中 P 在 D 点这个特殊位置，显然不满足PE AC；C 中 P 点所在的轨迹与 CD 平行，它与CD 平行，它与 CF 所成的角为CF 成 角，显然不满足 PE AC； D 于中 P 点所在的轨迹与4锐角，显然也不满足PE AC评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形 不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直 ”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹【例 2】(1)如图，
4、在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中， E、 F、 G、H 分别是 CC1、 C1D 1、 DD 1、 DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有 MN 平面 B1BDD 1(2) 正方体 ABCD A1B CD中， P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP BD，则动点 P 的轨迹1111是线段 B1C中， E、F 分别是棱 A B ，BC 上的动点，且 A E=BF ，P 为 EF 的中点，则点(3) 正方体 ABCD A B C D1111111P 的轨迹是 线段 MN (M、 N 分别为前右两面的中心)1111的棱长为
5、1，在正方体的侧面1123的点的集合形成(4) 已知正方体 ABCD A B CDBCC B上到点 A 距离为3一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是D1FC1D 1D 1C1D1C1C1A1A1A11A1GB1B1EBB1MEPPPDCDCDCDCHANABAFAB(1)B(2)(3)B(4)若将 “在正方体的侧面BCC11上到点 A 距离为23的点的集合 ”改为 “在正方体表面上与点A 距离为 2 3的点B33的集合 ” 那么这条曲线的形状又是，它的长度又是【例 3】 (1)(04北京 )在正方体 ABCD -A1B1C1D 1 中， P 是侧面 BB1C1C 内一动点， 若 P到直线
6、 BC 与直线 C1D 1 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是(D )A A直线B圆C双曲线D抛物线A 1变式：若将 “P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等 ”改为 “P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离之比为 1： 2(或 2： 1)”， 则动点 P 的轨迹所在的曲线是椭圆 (双曲线 )(2)(06 北京 )平面 的斜线 AB 交 于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 A于点 C，则动点 C 的轨迹是(A )A一条直线 B一个圆C一个椭圆D 双曲线的一支解： 设 l 与 l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，
7、由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与 AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面 的交线上，故选A1(3) 已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为1， M 在棱 AB 上，且 AM =3，点 P 到直线 A1D 1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为1，则点 P 的轨迹为A1抛物线 (4) 已知正方体 ABCD A1B1 C1D 1 的棱长为 3，长为 2 的线段 MN 点一个端点 M 在DD 1 上运动，另一个端点N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 的中点 P 的轨迹与正方体的面A 1所围成的几何体的体积为A63【例 4】 (04
8、重庆 )若三棱锥A-BCD 的侧面 ABC 内一动点P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与 ABC 组成图形可能是： ( D )AAAAAD 1C1B1PDCBlABCD 1C1B1D 1C1DPCMB1MB2DCN33BPP P PBCBCBCBCABCD【例 5】 四棱锥 P-ABCD ，AD 面 PAB，BC面满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是 ()A圆B不完整的圆C抛物线分析： AD 面 PAB， BC平面 PAB ADBC 且 AD PA， CB PB APD = CPB tanAPD =tanCPBPAB，底面 ABCD 为梯形，AD =4，BC=
9、8，AB=6， APD =CPB，D 抛物线的一部分PCAD CBB PA =PBAD PB=2PA在平面 APB 内，以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则A(-3 ， 0)、 B(3， 0)，设P(x， y)( y 0)，则 (x-3) 2+y2=4( x+3) 2+y2 (y 0)即 (x+5) 2+y2=16(y 0) P 的轨迹是 (B)立体几何中的轨迹问题（教师版）1在正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B 1C1 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ D ）A 线段B 一段椭圆弧C双曲线的一部分D抛物线的一部分简析
