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1、个人收集整理勿做商业用途以上介绍了线性回归模型但有时候变量之间地关系是非线性地例如yt = :- 0 + ：-i+ utyt = :- 0 + ut上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数地 可采用非线性方法进行估计 估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现.计算机地出现大大 方便了非线性回归模型地估计专用软件使这种计算变得非常容易但本章不是介绍这 类模型地估计.文档收集自网络，仅用于个人学习另外还有一类非线性回归模型其形式是非线性地，但可以通过适当地变换，转化 为线性模型，然后利用线性回归模型地估计与检验方法进行处理称此类模型为可线性化地非线性模型.下面介绍几种典型地
2、可以线性化地非线性模型.文档收集自网络，仅用于个人学 习4.1可线性化地模型指数函数模型yt =(4.1)文档收集自网络，仅用于个人学习b0和b 0)对数函数模型yt = a + b Ln xt + ut络，仅用于个人学习图4.2 yt =, (b 0和b 0)图4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0情形地图形见图4.7.xt和yt地关系是非线性地.令 yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得文档收集自网络，仅用于个人学习yt* = a + b xt* + ut已变换为线性回归模型.其中ut表示随机误差项.图4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b
3、 0)图4.8 yt = a + b/xt , (b 0)文档收集自网络，仅用于个人学习双曲线函数还有另一种表达方式，yt = a + b/xt + ut(4.11)文档收集自网络，仅用于个人学习b0情形地图形见图4.8.xt和yt地关系是非线性地.令 xt* = 1/xt，得yt = a + b xt* + ut上式已变换成线性回归模型 例 4.2 (P139，例 3.5多项式方程模型一种多项式方程地表达形式是23yt = bo +bi xt + b2 xt + b3 xt + ut(4.12)文档收集自网络，仅用于个人学习其中 bi0, b20, b30和 bi0, b3o, b2o和bi
4、o, b2 0情形地图形分别见图4.13和4.14.美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体地生长，得到了上述数学模型 .生长模型(或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed 曲线)常用于描述有机体生长发育过程.其中k和0分别为yt地生长上限和下限.=k,=0.a, b为待估参数.曲线有拐点，坐标为(，)，曲线地上下两部分对称于拐点.文档收集自网络，仅用于个人学习图4.13 y = k / (1 +)图4.14 yt = k / (1 +)文档收集自网络，仅用于个人学习为能运用最小二乘法估计参数a, b,必须事先估计出生曲线长上极限值 k.线性化过程如下.当k给出时，作如下变换，文档收集
5、自网络，仅用于个人学习k/yt = 1 +移项， k/yt - 1 =取自然对数，Ln ( k/yt - 1) = Lnb - a t + ut(4.18)文档收集自网络,仅用于个人学习令 yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb,贝Uyt* = b* - a t + ut(4.19)文档收集自网络，仅用于个人学习此时可用最小二乘法估计b*和a.图4.15内地5月1日至28日每天非典数据一览龚伯斯(Gompertz)曲线英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长地一种数学模型，此 模型可用来描述一项新技术，一种新产品地发展过程.曲线地数学形式是，文档收集自网络,仅
6、用于个人学习yt =图 4.15 yt =曲线地上限和下限分别为k和0，= k, = O.a, b为待估参数.曲线有拐点，坐标为(，)， 但曲线不对称于拐点.一般情形，上限值k可事先估计，有了 k值，龚伯斯曲线才可以 用最小二乘法估计参数.线性化过程如下：当k给定时，文档收集自网络，仅用于个人学习yt / k = ，k/yt =Ln (k/yt) = ，Ln L n( k/yt) = Lnb - a t令 y*= LnLn(k/yt), b* = Lnb，贝Uy* = b* - a t上式可用最小二乘法估计b*和a.Cobb-Douglas生产函数下面介绍柯布-道格拉斯(Cobb-Dougla
7、s)生产函数.其形式是rt 1 nQ = k L C(4.24)文档收集自网络，仅用于个人学习其中Q表示产量；L表示劳动力投入量；C表示资本投入量；k是常数；0 1.这 种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据 1899-1922年美国关于生产方面地数 据研究得出地地估计值是0.75, 一：地估计值是0.25.更习惯地表达形式是 文档收集自网络， 仅用于个人学习yt =(4.25)这是一个非线性模型，无法用 OLS法直接估计，但可先作线性化处理.上式两边同取 对数，得：Lnyt = Ln o + i Lnxt 1 + ：2 Lnxt 2 + ut(4.26)文档收集自网络，仅用于个人学习取
8、yt* = Lnyt, :0* = Ln。xt 1* = Ln xt 1, xt 2* = Ln xt 2，有文档收集自网络，仅用于个人学习yt*= : 0* + ：1 xt 1* + ：2 xt 2* + ut(4.27)文档收集自网络，仅用于个人学习上式为线性模型.用OLS法估计后，再返回到原模型.若回归参数1 + ：2 = 1，称模型为规模报酬不变型(新古典增长理论)；1 + ：2 1，称模型为规模报酬递增型；M +七 1,称模型为规模报酬递减型.对于对数线性模型，Lny = Ln 0 + ：1 Lnxt1 + ：2 Lnxt2 + ut ， ：1和：2称作弹性系数. 以M为例，文档收集
9、自网络，仅用于个人学习：1 = = = =(4.28)可见弹性系数是两个变量地变化率地比.注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于 在不同变量之间比较相应弹性系数地大小.文档收集自网络，仅用于个人学习对于线性模型，yt = :0 + :1 xt1 + :2 xt2 + ut ，1和:2称作边际系数.以1为例，文 档收集自网络，仅用于个人学习a1 =(4.29)文档收集自网络，仅用于个人学习通过比较(4.28)和(4.29)式，可知线性模型中地回归系数(边际系数)是对数线性回归 模型中弹性系数地一个分量.文档收集自网络，仅用于个人学习例 4.1( 136P 例 3.4)略4.2非线性化模型地处理
10、方法模型：无论通过什么变换都不可能实现线性化，对于这种模型称为非线性化模型 可采用高斯一牛顿迭代法进行估计，即将其展开泰勒级数后，再进行迭代估计方法进 行估计.文档收集自网络，仅用于个人学习1迭代估计法思想是：通过泰勒级数展开，先使非线性方程在某组初始参数估计值附近线性化， 然后对这一线性方程应用 OLS法，得出一组新地参数估计值下一步是使非线性方程 在新参数估计值附近线性化，对新地线性方程再应用OLS法，又得出一组新地参数估 计值.不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止.其步骤如下.文档收集自网络，仅用于个人 学习1) 对模型：在给定地参数初始值 bio,b2obpo展开泰勒级数：取前两项，便有线性近似：2) 将上式左端看成组新地因变量，将右端看成一组新地自变量，这就已经成为 标准线性模型，再对其就用 OLS法，得出一组估计值.文档收集自网络，仅用于
