§3.4 随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布定理1.设x为持续型随机变量,为其密度函数又设严格单调,其反函数具有持续导数则也是一种持续型随机变量,且其密度函数为 (１)其中，证明：不妨设是严格单调上升函数,这时它的反函数也是严格单调上升函数,于是 (）对上式有关ｙ求导,得同理,可证当是严格单调下降函数时,有因此 定理1在使用时的确很以便，但它规定的条件“函数严格单调且反函数持续可微”很强，在诸多场合下往往不能满足事实上这个条件可以削弱为“逐段单调,反函数持续可微”这时密度公式应作相应的修改 定理２．若ｆ（x)在不相重叠的区间上逐段严格单调,其反函数分别为,而均为持续函数那么为持续型随机变量,其密度函数为 (2)例1． 设，则证:为单调函数,则反函数因此由定理1，得h的分布密度为例2.若,则证:为单调函数,且反函数因此由定理1，得h的分布密度为因此 例3． 设，试求的密度函数解法1: （先求其分布函数，然后再求其密度函数—分布函数法）当y£0,显然有 当y>0,有 因此,解法2:（运用定理2)分段单调,在（-¥，0）中反函数，而在［０,＋¥)中反函数,因此根据定理2,懂得h的密度函数为（当ｙ>0时）因此 上述密度函数为分布的密度函数在n=1时的特例,也就是说N（0,１）变量的平方是自由度为1的变量。
例4设随机变量的分布函数为严格单增的持续函数,证明证明: 取值于[0，１］,取值于［0，1] 当 时， 当 时,当 时， 因此,二、二维随机变量函数的分布问题：已知的联合密度函数为,是二元可测函数,求随机变量的分布则同上面同样讨论可得到措施：1．和的分布 上式有关z求导得 （3）如果x与h互相独立时,有,从而 (４）由于对称性,还可得 (5)(4）和（5)是出名的卷积公式(褶积公式)，简朴地记作 例5、设x与h互相独立且都服从N(0，1).证明: 证:由卷积公式故 注:1°若于，则２°若独立同分布于，则３°若互相独立,则这个事实有时也称为正态分布具有可加性在前面已经证明了普阿松分布、二项分布具有可加性,这里也阐明了正态分布具有可加性，其实尚有其她某些分布也具有可加性，如分布例6(教材13５页) 解:当时，显然当时, 因此， 由此可知，分布对它的第一种参数具有可加性由于为参数为ｎ的分布,因此分布也具有可加性特别的当时，随机变量x的密度函数为: 称服从自由度为ｎ的—分布,记作。
这是数理记录中的一种重要分布特别地，当时，G(1,l)就为参数为l的指数分布由此又可以得到另两个结论：(1)m个独立同分布的指数变量之和为G-分布变量，即(2) m个独立同分布的变量之和为变量(分布具有可加性)例7 如果是n个互相独立的随机变量，且都服从Ｎ(0，１),并且都服从分布，且仍然互相独立，其平方和服从自由度为n的－分布即n个互相独立的N(0,1）的平方和是一种参数为ｎ的-分布,习惯上独立变量的个数称为“自由度”例8 设独立同分布于，求的密度函数 解:Ⅰ 由题意 由卷积公式: 1）当时, 2)当时 3)当时, ３）当时, 因此,Ⅱ X 2 zY z1)当时, 2)当时 ３）当时，3)当时, 因此，2.差的分布 设密度函数为,求的分布 (６) 令 则，上式有关ｙ求导，得z的密度函数为 （7)3.积的分布 设密度函数为，求的分布 （8)4. 商的分布 设密度函数为,求的分布。
令 则,因此 上式有关z求导,得z的密度函数为 (8)特别，当x与h互相独立时,有 （9)例9 设x与h互相独立，分别服从自由度为ｎ及m的-分布,证明 上式的密度函数的分布称为参数为的--分布,记作它是数理记录中最常用的分布之一 （教材1３7页)例10 设，，且互相独立,证明 （教材１39页)例11 设独立同分布于,试求的概率密度解：由于，因此中分母为０的状况可以不以考虑 cａucｈｙ分布例１2设独立同分布于，独立同分布于,求：的密度函数 解: 因此, Relly分布三、随机向量的变换1.变量变换法定理4 设的联合分布密度函数为，若对于函数 满足下述条件1) 存在唯一反函数 2) 则的联合密度函数为 （１0)这个措施事实上就是二重积分的变量变换法例13.设x与h独立同分布，都服从，记 试求(Ｕ，V)的联合密度函数，问Ｕ与V与否独立?解:令，则反函数为因此得(U,Ｖ)的联合密度函数为 这是一种二元正态分布得密度函数,其边际分布为，因此由知Ｕ与Ｖ互相独立。
2.增补变量法 增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维持续型随机变量（x，h)的函数U＝ｇ(x,h)的密度函数，增补一种新的随机变量V= ｈ（x,h)，一般令V=x或V=h.先用变换法求出(U,Ｖ)的联合密度函数j（ｕ,v),再对j(u,ｖ)有关v积分,从而得出有关Ｕ的边际密度函数． 例１4 设x与h互相独立，其密度函数分别为 ,则的密度函数为 证：设，则的反函数为,因此得(U,Ｖ）的联合密度函数为对ｇ（ｕ,v）有关v积分得 例15、设x与h为互相独立的随机变量,且具有相似的指数分布密度函数求的联合密度函数解：对做变换因此因此，当时当时，可以验证这里的a,b是互相独立的,分别具有密度例16、设与互相独立，且均服从N(0,1）试证是互相独立的证:（U,V）的联合分布函数为当s>０时,做变换，反函数有两支 与 考虑到反函数具有两支，分别运用两组变换得对F（ｕ,v ）求导，得（U，Ｖ）的联合密度为（其他为０）因此U,V两随机变量独立 习题课 持续性随机变量及其分布内容小结一、分布函数一维 定义 性质 １) 单调性 2) 极限 3） 左持续型 二维 定义 性质 １) 单调性 ２) 极限 ３） 左持续型 4)对任意的边际分布 二、持续型随机变量、密度函数一维 定义: 性质：(1) (2) (3) (4) 二维 定义： 性质：(１) （２) （4） 边际分布:三、独立性 分布函数法四 随机变量函数的分布 一维:(1)和的分布 (独立） （2)商的分布 (3）差的分布 (4)积的分布3. 随机向量的变换,则则的联合密度函数为五.常用的持续型分布 (1)均匀分布 （２）指数分布 (3)正态分布 若 (4) 分布 例题分析例1、设随机向量(x,h)的概率密度为试求:(1) (x,h)的分布函数；(2) (x,ｈ)边际概率密度;(3） 解：(1)当时当时当时当时因此(2） 当时因此 当时因此 (3) 例2、设(x，ｈ)服从二维正态分布，其密度函数为试求(1)的密度函数（2)解:（1)当时，当时因此(2)或例3、设x和h是两个互相独立的随机变量,其密度函数分别为: ， 试求z=x+h的概率密度。
解:代入卷积公式 由\ 当z£0时，当０＜z£１时, 当z>1时, \例4、 设x与h互相独立,且均服从(0,a)上的均匀分布，求 的分布密度. 解:(解法一)直接代入公式 当时当时\(解法二)用分布函数定义求由于ｘ与h互相独立，因此其联合密度函数为显然当z£0时，当01时, 因此 例5、设(ｘ，h）服从二维正态分布,其密度函数为: 求解： 令例6、设x与h互相独立,且其密度函数均为：求 的分布密度解：由题意x与h互相独立，于是(x,h)的分布密度显然当z£０时,当ｚ>0时, 令\故的分布密度为 例７、设(x，h)的密度函数为： 求的密度函数 解：(解法一)用分布函数的定义求的分布函数显然当z£0时,当ｚ＞0时 \ (解法二）用公式求（1）当ｚ>0时 （不易求出)（2)当ｚ>0时当ｚ£０时,\ 例8、若ｘ与ｈ互相独立,均服从N(０，1）．试证及是互相独立的证明:采用极坐标，因此,由于（x，h)的密度函数为而 ,故(r，j)的密度函数为:r的密度函数为：这个分布称为瑞利分布(Ｒaｙleｉgｈ)分布。
而服从[0,２p］上的均匀分布，并且它们是独立的例9、设x和ｈ互相独立,其密度函数分别 , 试求.解:代入公式由，得当时 当时 最后得 。