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1、热点透析：关于宇宙速度的思考湖北大悟一中 王志平 432800人造卫星作为现代科学技术水平的象征，是历年高考的必考内容，因而与宇宙速度有关的问题就成为高考复习的热门话题之一。在这里，只有紧扣教材，理解宇宙速度的确切含义，才能做到融会贯通，以静制动，提高高考应变能力。教材(人教版，下同)在给出人造地球卫星的速度后，有这样一段描述：这就是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫做第一宇宙速度。如果人造卫星进入地面附近的轨道速度大小7.9km/s，而小于11.2km/s，它绕地球运动的轨迹就不是圆形，而是椭圆。当物体的速度等于或大于11.2km/s时，就会脱离地球的引力，不再绕地球
2、运行，物体把这个速度叫做第二宇宙速度。(人教版第109页，着重号为笔者所加)请注意“地面附近”几个字，这几个字表明：宇宙速度是指人造卫星进入地面附近轨道时的速度。可以理解为：(1)卫星进入地面附近轨道的速度v必须为(不是)7.9km/s，才能绕地球做匀速圆周运动；(2)当卫星进入地面附近轨道的速度v满足的关系时，在椭圆轨道上运行，而速度v是卫星在椭圆轨道上通过近地点(地面附近)时的速度；(3)当卫星进入地面附近轨道的速度v满足的关系时，卫星脱离地球的引力，成为太阳系内的人造行星。(4)当卫星进入地面附近轨道的速度时，卫星将挣脱太阳引力束缚，成为太阳系外的人造天体。大家注意到，在以上的叙述中，如
3、此强调“地面附近”四个字，除了要达到确切表达宇宙速度的含义外，更重要的是引起我们对宇宙速度及相关问题的进一步思考。思考一：第一宇宙速度是人造地球卫星必须具备的最小速度吗？教材上说：人造卫星在地面附近做匀速圆周运动必须具备的速度，叫做第一宇宙速度。由于是“必须具备”，因此有人认为，第一宇宙速度是人造卫星的最小运行速度，这正是忽视了“地面附近”这一关键条件所致。例1已知人造卫星在地面附近的圆轨道上运行的速度为，如果将卫星送入离地面的高度等于地球半径的圆轨道上，则卫星做匀速圆周运动的速度多大？解析：做匀速圆周运动的物体需要向心力，只有当地球对卫星的万有引力恰等于其所需向心力时，卫星才可以绕地球做匀速
4、圆周运动，当卫星离地面的高度等于地球半径R时，其轨道半径为2R，因此有由于轨道半径的增大，地球对其引力减小，卫星做匀速圆周运动的速度因此而小于第一宇宙速度。其实，教材上已经给出了卫星运行速度的计算式，此式才适合于所有做匀速圆周运动的卫星速度的计算。很显然，人造卫星的圆轨道半径越大，圆周运动的速度越小，第一宇宙速度是人造卫星做匀速圆周运动时的最大速度。思考二：让卫星从较高轨道脱离地球，脱离速度一定要等于或大于第二宇宙速度吗？要搞清楚这个问题，先应该了解第二宇宙速度的推导思路。 例2已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。如果以无穷远处为重力势能为零的点，则距离心为r、质量为m的物体的重力势
5、能为【注】(其中M为地球质量，G为引力常量)。试推导出第二宇宙速度v2的表达式。并求出第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1之比。(忽略空气阻力)分析：我们把人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须的速度叫第一宇宙速度，但如果人造卫星在地面附近具有11.2km/s的速度，则卫星就可以脱离地球的引力，成为太阳系的一颗人造行星，因此将11.2km/s的速度称作第二宇宙速度。因此，可以克服地球引力做功到达无穷远处的卫星，必须具有足够的动能，而这个动能的最小值对应第二宇宙速度。解答：卫星由地面附近到达无穷远处克服地球引力做功，机械能守恒，因此有 当时，对应的速度即为第二宇宙速度。联立、得 代入地球半径
6、和地面附近的重力加速度值，即得 当万有引力等于卫星做圆周运动的向心力时，卫星在地面附近的圆轨道上的速度为第一宇宙速度，即 联立、得 则 通过解题，我们体会到理解宇宙速度的物理意义是非常重要的。一些不妥的说法和错误的认识是一定要避免和改正的。比如，有人将宇宙速度说成“发射速度”，诸如“卫星以某某速度发射”、“第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度”、“卫星的发射速度是v”等说法，我认为都是不妥的，按教材的说法，说成“人造卫星进入轨道的速度”要恰当些。还有一种错误的认识，认为人造卫星的速度必须等于或大于第二宇宙速度才能脱离地球，成为太阳系的一颗人造行星。那么请看下例。例3一颗人造地球卫星，以速度v进
7、入轨道后，可绕地球做匀速圆周运动；若短时启动发动机，将卫星速度提高到2v(由于时间很短，可以认为卫星的轨道高度没有变化)，则卫星可能A绕地球做匀速圆周运动B绕地球运动，轨道是椭圆C不绕地球运动，成为太阳系的人造行星D挣脱太阳引力束缚，飞往太阳系以外的宇宙常见解答：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时，所受万有引力等于卫星所需向心力，即 因此 当 时，卫星将以加速点为近地点沿椭圆轨道运动；当 即等于或大于第二宇宙速度时，卫星将成为太阳系的人造行星。BC正确。质疑：当人造卫星绕地球做匀速圆周运动，在地表附近的圆轨道上时，其运行速度为第一宇宙速度，即 ；当速度变为2v即2v=15.8km/s时，卫星脱
8、离地球而成为太阳系的人造行星；若卫星在较高的轨道上做匀速圆周运动，则速度，但此时轨道半径已较大，卫星脱离地球克服引力做功就应该较小，卫星用于克服引力做功所需的动能也就比在地面附近圆轨道上小，卫星脱离地球的速度就应该小于11.2km/s的第二宇宙速度。由此可见，卫星从较高轨道上加速而脱离地球所需的速度一定小于第二宇宙速度。辨析与解：设地球质量为M，半径为R，引力常量为G，取无穷远处重力势能为零，则离地心距离为r处的质量为m的卫星的重力势能，由 得卫星的动能为 卫星的总机械能为 设想我们要把卫星从该轨道上送到离地心无穷远处(即脱离地球)，则应该使卫星再获得的动能，而 ，所以 也就是说，当卫星加速后
9、的速度达到原匀速转动的速度的倍就可以脱离地球，而成为太阳系的人造行星。那么，当卫星速度变为原来的2倍时，一定会脱离地球而成为太阳系的人造行星。结论：无论人造地球卫星在多高的圆轨道上运行，只要当火箭使卫星速度增大到原来的倍或倍以上值时，卫星都将脱离地球而成为太阳系的人造行星。上题的正解为C。思考三：在其它星球(如月球)上发射人造卫星对应的宇宙速度由什么因素决定？由例2知道，第一宇宙速度为，第二宇宙速度，式中M为地球质量，R为地球半径。此结论同样也适用于其它星球上宇宙速度的计算，这说明，对应星球的宇宙速度跟该星球的质量与半径之比的平方根成正比，不同的星球对应有不同的宇宙速度。例4为了实现人类在月球
10、上的永久居住，为进一步开发宇宙空间作准备，美国宇航局拟建造“月球村”。一艘来往于地球和月球之间的宇宙飞船，将一批“居民”送上月球，接回原“居民”后，先在离月球表面高度等于月球半径的圆轨道上运行，以待调整好飞行姿态后准备返回地球，之前必须使飞船脱离月球引力而绕地球飞行。科学计算表明，在忽略包括地球在内的其它星球的引力影响的情况下，只要将飞船在该圆轨道上的速度短时间内(认为飞船高度不变)增大到原来速度的倍或倍以上值，飞船就可以脱离月球而重新绕地球飞行。已知地球质量约是月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，人造地球卫星的第一宇宙速度，忽略包括地球在内的其它星球的引力影响。根据以上所给物理量，
11、计算宇宙飞船从绕月球飞行的该圆轨道上脱离月球引力所需的最小速度.(计算保留两位有效数字)解析：宇宙飞船脱离月球引力，即可成为绕地球飞行的飞船，完成从月球返回地球的关键的一步。设宇宙飞船在月球圆轨道上飞行的速度为v，则 脱离月球的速度 因此脱离月球的最小速度 解得 以上对第一宇宙速度和第二宇宙速度进行了深入地讨论，至于第三宇宙速度，则是指在地球上发射能脱离太阳引力的人造天体进入地面附近轨道时必须具备的最小速度，具有相对地面的意义，计算比较复杂，因而不作讨论。如果要在太阳表面附近发射(假设能够做到)能脱离太阳的人造天体，则其相对于太阳的“第二宇宙速度”的计算原理跟上述原理是完全一样的。 【注】设无穷远处重力势能为零，是物体m在离地心为r的P点处所具有的重力势能等于将物体从无穷远处移到P点万有引力所做功的负值，即 4
