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1、 1 1课时规范练59几何概型一、选择题1.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率,他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆5 120颗,正方形的内切圆区域有豆4 009颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)()A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16答案:A解析:根据几何概型的定义有,得3.13.2.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()A.B.C.D.答案:A解析:面积为36 cm2时,边长AM=6 cm;面积为81 cm2时,边长AM=9 cm.P
2、=.3.在面积为S的ABC的边AB上任取一点P,则PBC的面积大于的概率是()A.B.C.D.答案:C解析:如图,在AB边上取点P,来源:使,则P只能在AP上(不包括P点)运动,则所求概率为.4.若在区间-5,5内任取一个实数a,则使直线x+y+a=0与圆(x-1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为()A.B.C.D.答案:B解析:若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离d=,解得-1a3.又a-5,5,故所求概率为.5.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.B.C.1-D.答案:C来源:数理化网解析:
3、设OA=OB=2R,连接AB,如图所示,由对称性可得,阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积,S阴影=(2R)2-(2R)2=(-2)R2,S扇=R2,故所求的概率是=1-.6.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.B.C.D.答案:C解析:由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P=.二、填空题7.在区间-1,2上随机取一个数x,则x0,1的概率为.答案:解析:-1,2的区间长度为3,0,1的区间长度为1,根据几何概型知所求概
4、率为.8.在区域M=内随机撒一把黄豆,落在区域N=内的概率是.答案:解析:画出区域M,N,如图,区域M为矩形OABC,区域N为图中阴影部分.S阴影=42=4,故所求概率P=.9.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概率为.来源:数理化网来源:数理化网答案:解析:圆周上使弧的长度为1的点M有两个,设为M1,M2,则过A的圆弧的长度为2,B点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1,所以劣弧的长度小于1的概率为.10.在ABC中,B=60,C=45,ADBC,AD=,自点A在BAC内任作一条射线AM交BC于点M,则“BM1”的概率是.答案:解析:当BM=1时,
5、点M与点D重合,即“事件BM1”要发生,则射线AM所在区域为BAD内部任一位置,易得BAC=75,BAD=30,故所求概率为P=.11.在区间-,内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+有零点的概率为.解:a,b使得函数f(x)=x2+2ax-b2+有零点,0.a2+b2,试验发生时包含的所有事件是=(a,b)|-a,-b.S=(2)2=42,而满足条件的事件是(a,b)|a2+b2,S=42-2=32,由几何概型公式得到P=.三、解答题12.在区间上随机取一个数x,求cos x的值介于0到之间的概率.解:如图,在上任取x,0cos x的x的取值范围是x.记“co
6、s x的值介于0到之间”为事件A,则P(A)=.13.甲打靶射击,有4发子弹,其中有一发是空弹.(1)求空弹出现在第一枪的概率;(2)求空弹出现在前三枪的概率;(3)如果把空弹换成实弹,甲前三枪在靶上留下三个分别相距3,4,5的弹孔P,Q,R,第四枪瞄准了三角形PQR射击,第四个弹孔落在三角形PQR内,求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小).来源:解:设四发子弹编号为0(空弹),1,2,3,(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A,第一枪有4个基本事件,则P(A)=.(2)法一:前三枪出现“空弹”的事件为B,则第四枪出现“空弹”的事件为,那么P()=P(A),P(B)=1-P
7、()=1-P(A)=1-.法二:前三枪共有4个基本事件0,1,2,0,1,3,0,2,3,1,2,3,满足条件的有三个,则P(B)=.(3)RtPQR的面积为6,分别以P,Q,R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为,设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C,P(C)=1-.14.已知函数f(x)=ax+b,x-1,1,a,bR,且是常数.(1)若a是从-2,-1,0,1,2五个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求函数y=f(x)为奇函数的概率;(2)若a是从区间-2,2中任取的一个数,b是从区间0,2中任取的一个数,求函数y=f(x)有零点的概率.解:(1)函数f
8、(x)=ax+b,x-1,1为奇函数,当且仅当x-1,1,f(-x)=-f(x),即b=0,基本事件共15个:(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.设事件A为“函数f(x)=ax+b,x-1,1为奇函数”,包含的基本事件有5个:(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),事件A发生的概率为P(A)=.(2)设事件B为“函数y=f(x)有零点”,试验的全部结果所构成的区域为(a
9、,b)|-2a2,0b2,区域面积为42=8.构成事件B的区域为(a,b)|a=b=0(a,b)|-2a2,0b2,a0且(a+b)(b-a)0,即(a,b)|a=b=0(a,b)|-2a2,0b2,a0且-11,区域面积为42=4,事件B发生的概率为P(B)=.15.一只蚂蚁在边长分别为5,6,的三角形区域内随机爬行,试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率.解:由题意,画出示意图(如图所示).在ABC中,由余弦定理,得cos B=.于是sin B=.所以SABC=56=9.又图中阴影部分的面积为ABC的面积减去半径为1的半圆的面积,即为S阴影=9-,所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的
10、地方的概率为P=1-.四、选做题1.如图,三行三列的方阵中有九个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是()A.B.C.D.答案:D解析:从九个数中任取三个数的不同取法共有=84(种),因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有=6,所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1-.2.在长度为3的线段上随机分成两段,则其中一段的长度大于2的概率为.答案:解析:在长度为3的线段上随机分成两段,所以设其中一段长度为x,则0x3;而其中一段的长度大于2,则所以,解得2x3或0x0且1,即2ba.若a=1,则b=-1;若a=2,则b=-1,1;若a=3,则b=-1,1.所以事件包含基本事件的个数是1+2+2=5,即所求事件的概率为.(2)由(1),知当且仅当2ba且a0时,函数f(x)=ax2-4bx+1在区间1,+)上为增函数,依条件,可知试验的全部结果所构成的区域为.构成所求事件的区域为.由得交点坐标为,所以所求事件的概率为P=.
