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1、初中几何最值问题A例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例1】在锐角VABC中，AB=4, BC=5, / ACB=45,将4ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 AiBO.点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在4ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点Pi,求线段EP长度的最大值与最小值.【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AAOB和ACOD,其中/ ABO=ZDCO=30.如图，若 BO=3/3,点N在线段 OD上，且NO=2.点P是线段 AB上的一个动点，在 将4AOB绕点。旋转的过程中，线段 PN长度的最小值为 ,最大值为 .【例2】如图， M
2、ON 90,矩形ABCD的顶点A. B分别在边OM, ON上，当B在边ON上运动时，A随 之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2, BC=1,运动过程中，点 D到点。的 最大距离为【巩固】已知：ZXAOB 中，AB OB 2 , zCOD 中，CD OC 3,/ABO / DCO .连接 AD、BC , 点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.若A、O、C三点在同一直线，上，且/ ABO 2 , 固定zAOB ,将ACOD绕点O旋转，则PM的最大值为 B AC【巩固】在平面直角坐标系 xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点 M为线段AB的中点.点D、E分别在
3、x轴、y轴的负半轴上，且 DE AB 10 .以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式.11【例3】如图，已知A( , y1), B(2, V为反比例函数y 图像上的两点，动点 P(x,0)在x正半轴上运 2x动，当线段 AP与线段BP之差达到最大时，点 P的坐标是2、轴对称例i 求J x 324 7x21的最小值【例2】ABCD是半径 为5的e O的两条弦， AB 8, CD 6, MN为直径， AB MN于点E,CD MN于点F , P为EF上任意一点，则 PA+PC的最小值为 【巩固】设半径为1的半圆的圆心为 O,直径
4、为AB,C、D是半圆上两点，若弧 AC的度数为96。，弧BD 的度数为36,动点P在直径AB上，则CP + PD的最小值是 【巩固】设正三角形 ABC的边长是2, M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，则 PA+PM的最 大值为，最小值为【例3】如图，已知等边ABC的边长为1, D、E、F分别是AB、BCAC边上的点(均不与点A、B、C重合)，记 DEF的周长为p .若D、E、F分别是AB BC AC边上任意点，则p的取值范围是【例4】如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 + 2x+3与x轴交于A. B两点，与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B. D两点的
5、坐标；(2)请在直线AC上找一点M,使4BDM的周长最小，求出点 M的坐标.图145得到射【例5】如图，直线yW3x 2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转3线AN, D为AM上的动点，B为AN上的动点，点 C在/ MAN的内部.(1)当AM/x轴，且四边形 ABCD为梯形时，求 4BCD的面积;(2)求 BCD周长的最小值;(3)当 BCD的周长取得最小值，且BD5,2 一时，求ABCD3的面积.【例6】在直角坐标系中，A1, 2 , B 4, 1 , C m,0 , D n,n为四边形的 4个顶点，当四边形ABCD的周长最短时,【巩固】如图1,抛物线y=ax2+bx+c
6、 (aw。的顶点为 其中点B的坐标为(3, 0)。C (1, 4),交x轴于A、B两点，交y轴于点D,(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点 G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点 H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。图2图132【例7】已知，如图1, 一次函数y ax 2ax 3a a 0的图像的顶点为 H ,与x轴父于A、B两点(b在 A的右侧)，点H、B关于直线l ： y 吏x 33对称.3(1)求A、B两点的坐
7、标，并证明点 A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作BK / AH交直线l于点K , M、N分别为直线 AH和直线l上的两个动点，连结 HN、NM、MK，求 HN NM MK 的最小值.【巩固】如图，在平面直角坐标系 xOy中二次函数y x2 bx c的图象与x轴交于A (-1,0)、B (3,0) 2两点，顶点为C.(1)求此二次函数解析式；(2)点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l : y 皂x 近交BD于点E,过点B作直线BK 33/ AD交直线l于K点.问：在四边形 ABKD的内部是否存在点 P,使得它到四边形 ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；
8、若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结 DN、NM、MK , 求 DN NM【例8】在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点O在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半轴上， OA 3, OB 4, D为边OB的中点.(I )若E为边OA上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点E的坐标;温馨提示：如图，可以作点D关于x轴 的对称点 D ,连接CD 与x轴交于 点E,此时 CDE的周长是最小的.这样， 你只需求出OE的长，就可以确定点E的 坐标了 .CyDBEEAXytBC C(n)若E、F为边OA上的两个动点，且 EF 2 ,当四
9、边形CDEF的周长最小时，求点 E、F的坐标.【巩固】已知点 A (3, 4),点B的坐标为(-1, 1)时，在x轴上另取两点 E, F,且EF=1.线段EF在x轴上平移，线段 EF平移至何处时，四边形 ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标.11 2【例9】已知直线y x 1与y轴父于点A,与X轴父于点D,抛物线y x bx C与直线交于 A、E 22两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为(1, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM MC |的值最大，求出点 M的坐标。3【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y -x 6与x轴、y轴的交点分
10、别为A、B,将/OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过 A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出QA QO的取值范3、旋转【例1】如图，已知在 4ABC中，BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 ABD.当/ ACB变化，且点D与点C位 于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的/ ACB的度数.【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为为 BOD的中线，过B、E两点的抛物线(0,2)，点D在x轴的正半轴上,ODB 30 , OEax2旦6c与x轴相交于
11、A、F两点(A在F的左侧)(1)求抛物线的解析式;(2)点P为三角形ABO内的一个动点，设PA PBPO ,请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长.【巩固】已知矩形 ABCD, 和H的位置，使得AD=10, AB=6,在矩形AP DP PH最小ABCD内有一点P,在BC边上有一点H ,分别确定点PBHC【巩固】直角梯形 ABCD中，B C 90 ,在梯形内求作一点 。使OQ BC于Q且。A+OD+OQ 的值最小、垂线段最短【例1】已知AB 10,p是线段AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 APC和BPD,则线段CD长度的最小值是 AP和BP为边作两个等边三角形【例2】如图，在
12、锐角VABC中，AB 4J2, BAC 45， BAC的 平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM MN的最小值是 .【巩固】矩形ABCD中，AB 20, BC 10.在AC、AB上各取一点求这个最小值M、N ,使BM+MN的值最小,【例3】如图，在 ABC中，AB=15, AC=12, BC=9,经过点C且与边AB相切的动圆与 CB、CA分别相交 于点E、F,则线段EF长度的最小值是 【例4】已知在VABC的BC边上取一点D ,设VABD和VACD的外接圆的圆心分别是 O和O ,求：使两圆 半径为最小值时点 D的位置【巩固】点M在VABC的AC边上，分另1J作VABM和
13、VCBM的外接圆。问当 公共部分的面积最小？M点在什么位置时，两外接圆【例5】在已知VABC内，作内接矩形 DEMN ,使一边DE在最大边BC上, AC , AB上。试确定矩形 DEMN的位置，使对角线 DM长最短.另外两个顶点M、N分别在边A【巩固】点P在锐角VABC的边上运动，试确定点 P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明你的结论【例6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点， 。为坐标原点.若 OA、OB(OA OB)的长分别是方程x2 4x 3 0的两根，且 DAB 45.(1)求抛物线对应的二次函数解析式；(2)过点A作AC AD交抛物线
14、于点C,求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，过点 A任作直线l交线段CD于点P,求C、D到直线l的距离分别为d1、d2，试求d1+d2的最大值.【例7】在直角坐标系中，点 A坐标为（-3, -2）,圆A的半径为1, P为x轴上一动点，PQ切圆A于点Q, 则当PQ最小时，P点的坐标为【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知4OAB是等腰三角形（OB为底边），顶点 A的坐标是（2,4）,点B在x轴上，点Q的坐标是 6 ,0 , AD x轴于点D,点C是AD的中点，点P是直线BC上的一动点（1）求点C的坐标（2）以点P为圆心、 夜为半径作圆，得到动圆 eP,过点Q作eP的两条切线，切点分布为 E、F ,问： 是否存在以O、E、P、F为顶点的四边形的最小面积为 S?若存在，请求出 S的值；若不存在， 请说明理由.三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦【例1】如图，O O的半径为5,点P到圆心O的距离为J10 ,如果过点P作弦，那 么长度为整数值的弦的条数为 2、设A是。内一点，在连接 A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段 最长；设
