《§7—9_一一映射_同态与同构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§7—9_一一映射_同态与同构（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、word第 3 讲 79 一一映射，同态与同构 2课时 (Bijection Homomorphism and Osomorphism )本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态与同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构群第一、二同构定理环同态，环同构理论做准备。具体要求：1、在第一讲的根底上，对各类映射再做深入的研究。2、充分了解双射一一映射的特性以与由此引导出的逆映射。3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定根底，本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质与同构映射本质的掌握。而对双射与自身
2、的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。本讲思考题与作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲完毕之后。一、一一映射在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。定义1、设是集合到的映射，且既是单的又是满的，如此称是一个一一映射双射。例1：，其中，可知显然是一个双射。注意：与偶数集之间存在双射，这明确：与它的一个真子集一样“大。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限集的充要条件是与其某个
3、真子集之间存在双射。定理1：设是到的一个双射，那么由可诱导出可确定出到的一个双射通常称是的逆映射证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点，如此可确定由到的映射：，如果，由上述说明，易知是映射。是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象。由的任意性，知是满射。是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射，这说明，所以是单射。综合上述讨论知：是到的一个双射。结论：设是映射，那么：1是双射可唯一确实定一个逆映射，使得：是双射；也是的逆映射，且；2是双射同时是有限集或同时是无限集。二、变换定义2：设是映射，那么习惯上称为是的变换。当是双射单
4、射，满射时，也称为一一变换单射变换，满射变换例2 三、同态本目与高代中的线性变换类似对代数系统的比拟。例3、设，其中中的代数运算就是中的加法，而中的代数运算为数中的乘法。定义3：设集合都各有代数运算称与为代数系统而是映射，且满足下面等式：习惯上称可保持运算那么称是到的同态映射。例4、设与同例3，今设，那么例5、与同上，而（1） 假如均为偶数时为偶数，2假如均为奇数时为偶数，3假如奇而偶时为奇数，如此4假如偶而奇时同理知. 由(1)(4)知,是到的同态映射.如果同态映射是单射满射，那么自然称是同态单射同态满射，而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定义4：假如是到的同态满射，那么习惯上称同态，并
5、记为；习惯上称是的同态象.定理2. 如果是到的同态满射，那么（1） 假如满足结合律也适合结合律；（2） 假如满足交换律也适合交换律.证明：1任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明2定理3、设和都是代数系统，而映射关于以与都是同态满射，那么：（1） 假如满足左分配律也适合左分配律；（2） 假如满足右分配律也适合右分配律。证明：1是满射.又因为是关于与的同态映射即.同理可证明2。思考题1：在定理2与定理3中，都要求映射是满射，似乎当是同态满射时，才能将中的代数性质结合律、交换律与分配律“传递到中，那么：（1） 当不是满射时，“传递还能进展吗？即定理2，3成立吗？（2）
6、 即使是满射，“传递的方向能改变吗？即中的性质能“传递到中去吗？（3） 依照定理2，3的思路，假如将换成同态单射后，能获得什么结论？四、同构定义4、设是到的同态映射，假如是个双射，那么称是同构映射，或称与同构，记为。例6、设都是整数中通常的加法“+，现作，那么是同构映射.事实上，1是单射：当是单射.2是满射：是满射.3是同态映射：由1，2，3知，是同构映射，即。定理4、设是到的同构映射，那么1“适合结合律“也适合结合律；2“适合交换律“也适合交换律；3“和“+满足左右分配律“和“满足左右分配律。注意：由上述明确，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是一样的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有
7、这样或那样的差异，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差异是外表上的，次要的，而它们的共同点运算所表现的规律性如此是本质的，主要的。于是，我们需要说明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是代数一样的。在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。因此，同构的代数体系由于完全一样的代数结构。研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的代数体系以与它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构如此可。课堂练习：设，那么，不可能同构.证明：反证法假如，那么是同构映射。设思考题2：试证：1不同构为普通乘法。2不同构.3不同构其中为非零有理数集.思路：1反证法假如，且是到的同构映射。如此2反证法假如，且是到的同构映射。如此.3反证法假如，且是到的同构映射。如此五、自同构定义5、设是一个代数体系，假如是到的一个同构映射，那么称为的一个自同构。例7思考题3（1） 两个代数体系如果同构了，那么它们之间的同构映射是唯一的吗？（2） 设为数域，试证：是同构的。其中“+为数组间的加法，“为矩阵的加法作业： /
