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1、 【方法引领】.【举例说法】一、平行与垂直的证明例1【20xx-苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是棱上一点，且平面（1）求证：是中点；（2）若，求证：【解答】（1）连接，因为平面，平面，平面平面，所以. 4分因为侧面是菱形，所以是中点， 5分所以，E是AB中点.7分（2）因为侧面是菱形，所以，9分又，面，所以面，12分EC1A1CBAO因为平面，所以14分BC1ACA1B1D(第16题)E【练习】【宿迁市高三第二次调研测试】如图，在直三棱柱中，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E 求证：（1）DE平面B1BCC1； （2）平面平面【解答】
2、证明：（1）在直三棱柱中， 所以DEBC 4分 又平面B1BCC1，平面B1BCC1，所以DE平面B1BCC1 7分 （2）在直三棱柱中，平面ABC，又平面ABC， 所以 9分 又，平面， 所以平面 12分 因为平面 所以平面平面 14分二、线面位置关系的拓展例2如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PC平面BGD，求的值. 【分析】(1)中易证BDPA，要借助AB=BC与ABC=120说明BDAC，即位置关系的判定要借助数量关系的运算.(2)要求的值，即先分别求得PG，GC
3、的值，这要借助勾股关系与方程思想.【解答】(1)由已知得ABC是等腰三角形，且底角等于30.由AB=BC，AD=CD，BD=DB，得ABDCBD，所以ABD=CBD=60，且BAC=30，所以BDAC.又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA.又PAAC=A，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.设PG=x，则CG=-x，所以PD2-PG2=CD2-CG2，即10-x2=7-(-x)2，所以PG=x=，CG=，所以=.【点评】除常规的线面位置关系的判定与证明外，借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当的了解和关注.数量运算主要还是体现在垂直上，即有勾股关系的适当介入.
4、￥【练习】如图，PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，且PD=PC=4，AB=6，BC=3.(1)求证：BC平面PDA；(2)求证：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离.【解答】(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BCAD.因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BCCD.因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCD=CD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC.因为PD平面PDC，所以BCPD.(3)取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PECD.在RtPED中，PE=.因为平面PDC平面ABCD，平面P
5、DC平面ABCD=CD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD.因为=，所以SPDAh=SACDPE，即h=，所以点C到平面PDA的距离是.【实战演练】1. 如图(1)，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中ABCD，ABBC，AB=2CD，BDC=45，点M在线段EC上.(1)若EM=2CM，求证：AE平面BDM；(2)求证：平面BDM平面ADEF.【解答】(1)如图，连接AC交BD于点O，连接MO.MO平面BDM，所以AE平面BDM.(2)设DC=1，由题意知DCBC，BC=1，BD=.在梯形ABCD中，ABCD，所以ABD=BDC=45，因为AB=2DC=2，所以在ABD中，由
6、余弦定理知AD=，因为AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以ADB=90，所以ADBD.因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，BDAD，BD平面ABCD，所以BD平面ADEF.因为BD平面BDM，所以平面BDM平面ADEF.2. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC，M为BC的中点，N为AC上一点，且MN平面PAB.(1)求证：直线AB平面PMN；(2)若BC=2AC，ABC=30，求证：平面ABC平面PMN. (2)因为BC=2AC，ABC=30，由余弦定理可得AB=AC，所以AB2+AC2=BC2，所以ABAC.由(1)知MNAB，所以MNAC.因为PA=PC
7、，AN=CN，所以PNAC.又MN，PN平面PMN，MNPN=N，所以AC平面PMN.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面PMN.3. 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点.(1)求证：PB平面MNC；(2)若AC=BC，求证：PA平面MNC.【解答】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB.因为MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB平面MNC.(2)因为PAPB，MNPB，所以PAMN.因为AC=BC，AM=BM，所以CMAB.因为平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，CM平面ABC，所以CM平面PAB.因为PA
8、平面PAB，所以CMPA.因为PAMN，MN平面MNC，CM平面MNC，MNCM=M，所以PA平面MNC.4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形，ABBC，ABCD，CD=2AB，点M是CD的中点.(1)求证：AM平面PBC；(2)求证：CDAP.又因为BC平面PBC，AM平面PBC，所以AM平面PBC.(2)连接PM，因为PD=PC，点M是CD的中点，所以CDPM.又因为四边形ABCM是矩形，所以CDAM.因为CDAM，CDPM，PM平面PAM，AM平面PAM，PMMA=M，所以CD平面PAM.因为AP平面PAM，所以CDAP.5. 如图，在直三棱柱ABC-A
9、1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点.(1)求证：MN平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，且ADDC1，求证：MNAD.【解答】(1)如图，连接A1C.因为M为线段A1B的中点，所以MNBC.又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC.因为AD平面ABC，所以CC1AD.因为ADDC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1DC1=C1，所以AD平面BB1C1C.又BC平面BB1C1C，所以ADBC.又由(1)知，MNBC，所以MNAD. 6. 如图，在三棱锥P-ABC中，
10、D为AB的中点.(1)若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点E为AC的中点；(2)若PA=PB，且PCD为锐角三角形，又平面PCD平面ABC，求证：ABPC.(第7题)(2) 因为PA=PB，D为AB的中点，所以ABPD.因为平面PCD平面ABC，平面PCD平面ABC=CD，如图，在锐角三角形PCD所在平面内作POCD于点O，则PO平面ABC.因为AB平面ABC，所以POAB.又POPD=P，PO，PD平面PCD，则AB平面PCD.又PC平面PCD，所以ABPC.7. 如图，在三棱锥P-ABC中，PAC=BAC=90，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点.(1)求证：直线DF平面
11、PAC；(2)求证：PFAD.【解答】(1) 因为点D，F分别为BC，AB的中点，所以DFAC.又因为DF平面PAC，AC平面PAC，所以直线DF平面PAC.(2) 因为PAC=BAC=90，所以ACAB，ACAP.又因为ABAP=A，AB，AP平面PAB，所以AC平面PAB.因为PF平面PAB，所以ACPF.因为PA=PB，F为AB的中点，所以PFAB.又ACAB=A，AC，AB平面ABC，所以PF平面ABC.因为AD平面ABC，所以ADPF.8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面PAD，ABCD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.(1)求证：PC平面BMN；(2)
12、求证：平面BMN平面PAC.【解答】(1) 如图，连接AN，设AC与BN交于点O，连接MO.(第9题)所以PC平面BMN.(2) 方法一：因为PC平面PAD，AD平面PAD，所以PCAD.由(1)同理可得，四边形ABND为平行四边形，所以ADBN，所以BNPC.因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BNAC.因为PCAC=C，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BN平面PAC.因为BN平面BMN，所以平面BMN平面PAC.方法二：如图，连接PN.因为PC平面PAD，PA平面PAD，所以PCPA.因为PCMO，所以PAMO.因为PC平面PAD，PD平面PAD，所以PCPD.因为N为C
13、D的中点，所以PN=CD，由(1)得AN=BC=CD，所以AN=PN.因为M为PA的中点，所以PAMN.因为MNMO=M，MN平面BMN，MO平面BMN，所以PA平面BMN.因为PA平面PAC，所以平面PAC平面BMN. ￥9. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点.(1)求证：BC1平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP平面A1CD.$.【解答】(1) 如图，连接AC1交A1C于点O，连接OD.(第10题)(2) 因为CA=CB，D是AB的中点，所以CDAB.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC侧面AA1B1B，底面ABC侧面AA1B1B=AB，CD平面ABC，所以CD平面AA1B1B.因为AP平面A1B1BA，所以CDAP.因为BB1=AA1=AB，BP=B
