《新版高中数学课本典例改编之必修四、五：专题二 平面向量 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版高中数学课本典例改编之必修四、五：专题二 平面向量 Word版含解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 专题二 平面向量一、题之源：课本基础知识1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|,当0时,a与a的方向相同；当
2、0时,a与 a的方向相反；当0时,a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得ba4平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量
3、的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|6平面向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),其中b0,abx1y2x2y107平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,把数量|a|b|cos_叫做a和b的数量积(或内积),记作ab即ab|a|b|cos_,规定0a0.8向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc9平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)性质几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|
4、与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|二、题之本：思想方法技巧1.准确理解向量的概念,请特别注意以下几点：(1)ab,有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同,如|a|b|不能推出ab；(3)零向量的方向是任意的,并不是没有,零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a,是与a同向的单位向量,这也是求单位向量的方法；(5)向量平行,其所在直线不一定平行,两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a的大小和方向,可以自由平移a,平移后的向量与a相等,所以线段共线与向量共线是有区别的,向量的共线与向量的平行是一致的.2.向量具有大小和方向两个要素,既能
5、像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量,因此,在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.3.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量,在三种线性运算中,加法是最基本、最重要的运算,减法运算与数乘运算都以加法运算为基础,都可以归结为加法运算,在学习的时候要注意它们的联系与区别.4.对于两个向量共线定理(a(a0)与b共线存在唯一实数使得ba)中条件“a0”的理解：(1)当a0时,a与任一向量b都是共线的；(2)当a0且b0时,ba是不成立的,但a与b共线.因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我
6、们要求a0.换句话说,如果不加条件“a0”,“a与b共线”是“存在唯一实数使得ba”的必要不充分条件.5.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量坐标表示的基础.(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2(1,2R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸.(4)如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且1e12e20(1,2R),那么120.6.向量的坐标表示向量用坐标表示后,向量的计算和证明都归
7、结为数的运算,这使问题大大简化.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标,当且仅当向量的起点为原点时,向量的坐标才等于其终点的坐标.两个向量相等,当且仅当其坐标相同.7.平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量,但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量,而是一个实数.8.注意平面向量的数量积与数的乘法的区别：在数的乘法中,若ab0,则a,b中至少有一个为0.但在向量的数量积中,由ab0不能推得a0或b0,因为当两个非零向量a,b垂直时,也有ab0.应注意平面向量的数量积不满足结合律,即(ab)ca(bc)不一定成立.9.注意两个非零向量a,b的夹角与a,b所在直线
8、的夹角的区别.前者的取值范围是0,后者的取值范围是.10.求向量模的常用方法：利用公式a2即|a|将模的运算转化为向量的数量积.11.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.12.充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,重视向量的工具作用.13.利用向量解题的基本思路有两种,一是几何法：利用向量加减法的法则,抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系,将向量用坐标表示,然后利用向量的坐标运算解题.14.向量与三角函数结合的问题,通常是将向量的数量积与
9、模经坐标运算后转化为三角函数问题,然后用三角函数基本知识求解,其中涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加、减法,数乘运算；向量的数量积；向量平行、垂直的充要条件；向量的模、夹角等.15.已知A、B、P三点共线,O是A、B、P所在平面内任一点.则(1)+=2P是线段AB中点;(2)=m+n且m+n=1.16.设O为ABC所在平面内一点.(1)OABC重心=222取得最小值=().(2)O为ABC外心2=2=2（+）=（）=（）.O为ABC垂心=22=22=22.(4)O为ABC内心abc=（+）=（+）=（+）=0.17.设P为ABC所在平面内的动点.(1)若=(+)(0)或=(+)(0)
10、或=(+)(0)则点P轨迹经过ABC的重心.(2)若=(+)(0),则点P轨迹经过ABC的内心 (3)=(+)(0),则点P轨迹经过ABC的垂心.18.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量,观察条件和结论,选择使用向量的性质解决相应的问题.如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等.如果题设条件中有向量,则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量,则需要有向量的工具意识和应用意识,强化知识的联系,善于构造向量解决问题.19、解析几何中的常见向量条件：设为直线l的方向向
11、量,若=（1,k）则l斜率为k；若=（m,n）（m0）,则斜率为.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:=;=+且+=1;=(+)/(1+);.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:=;=(+).在四边形ABCD中,若=0,则ABAC;若+=-,则ABAD;若=,则ACBD;若/=/,则BAC=DAC.三、题之变：课本典例改编1.原题（必修4第九十二页习题2.2B组第四题）改编 设向量满足:,.以为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 个.【答案】4.【解析】可得,设该三角形内切圆的半径为,则,对于半径为1的圆有
12、一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交点.2.原题（必修4第一百零二页习题2.3B组第四题）改编1 设、是平面内相交成角的两条数轴,、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在坐标系下的坐标.假设,（1）计算的大小；（2）由平面向量基本定理,本题中向量坐标的规定是否合理？改编2 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.点C在以O为圆心的圆弧上变动,若,其中,则的范围是_.【解析】由,又,得,而点C在以O为圆心的圆弧上变动,得,于是.改编3 如图,在平面直角坐标系xoy中,向量,将数轴Oy绕着O点顺时针旋转到,设分别是与Ox轴、轴正方向同向的单位向量,若向量,求的值. 【解析】由已知, 3.原题（必修4第一百零五页例4）改编 已知（k0）（1）求证：；（2）将数量积表示为关于k的函数f（k）；（3）求f（k）的最小值及相应,夹角.【解析】 （1）（2） （3） 时,取等号,此时,又.4.原题（必修4第一百零六页练习2）改编1已知ABC中,向量,且BAC是锐角,则x的取值范围是 .【解析】本题容易忽视向量方向相同的情况.由可得x的取值范围是.改编2已知ABC中,向量,且BAC是钝角,则x的取值范围是 .【解析】本题容易忽视向量方向相反的
