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1、 基于分形市场假说的收益率分布模型构建及实证研究内容摘要：在本文中，介绍了国外提出的，建立在分形市场假说的基本思想基础之上的，刻画金融资产价格收益分布规律的ced模型，并将该模型应用于深圳成分指数，来描述深圳股市的收益分布特征。关键词：分布模型 分形市场假说 价格行为有效市场假说（emh），套利定价理论（apt），资本资产定价模型（capm）和期权定价模型（opm）等，是主流的金融计量理论。emh假定投资者是理性的、有秩序的和有条理的。在一个“有效市场”中，市场行为者的买卖信息都迅速反映在市场价格中，资产是按照可获得的信息公平定价的，买主和卖主都不能获得任何便宜，只有不可遇见的事件才会影响股票
2、价格的变化。在有效市场假说的线性、均衡框架下，资产价格的变化仅由今天的市场决定，今天的收益率与昨天的收益率无关，收益率是相互独立的，它们是遵循随机游动的随机变量，概率分布是正态的且方差有限。价格的随机游走和收益的正态分布是主流金融理论框架下最重要的假设，这些假设大大简化了数学模型的推导，使理论看起来更简洁。然而，随着金融市场的发展，越来越多的现象已经无法在这一框架的假设下得到合理的解释。另外，人们早就发现，股票收益的分布并不服从正态分布。二十世级六十年代以来，随着非线性经济学的兴起，非线性方法尤其是分形和混沌科学在研究金融资产价格行为上的广泛应用，金融计量学家认识到，在金融资产（典型的是股票和
3、汇率）价格运动中，广泛存在着持久性、长期记忆性、自相似性、标度不变性、非周期性、局部随机和总体有序共存等等非线性特征，认识到非线性关系是经济变量间关系的主流，而线性、均衡的关系只是其中的特例。为了解释股票等金融资产价格的分形和混沌机制，peters提出了分形市场假说（fractal market hypothesis）来作为有效市场假说的一种替代理论。简言之，emh假定投资者是价格的理性接受者，价格反映了所有信息，所有信息对投资者的影响相同，在投资者足够多时，这导致了随机游走和正态分布。而fmh认为市场是由大量短期和长期投资者组成，投资者是根据自己的投资期评估信息的，由于短期投资者和长期投资者
4、对信息的评估不同，信息的分布也是不均匀的。所以价格并不是反映所有的信息，而是只反映对特定投资期的投资者有用的信息。价格正是短期和长期投资者根据对市场信息的不同评估而进行的投资活动的混合结果，这导致了价格具有自相似的分形特征。市场的稳定性取决于不同投资期的投资者对信息评估的趋同程度。fmh是建立在金融价格行为的分形和混沌的实证基础之上，对于解释价格的突变、不连续、非周期和自相似等特征提供了一个新的理论框架，对于理解价格行为的局部随机性和总体确定性共存提供了一个新的和非常有吸引力的理论视角。然而，基于混沌和分形的资产定价方面的研究还主要是停留在揭示其分形和混沌特征的阶段，进一步的研究只是刚刚起步。
5、本文应用的ced（conditionally exponential dependence）模型就是建立在fmh所提出的基本思想的基础上，对于价格收益分布规律进行探讨的研究。由于该模型被提出的时间较短，关于这方面的研究和讨论还很少。国外的一些文献提出和讨论了该模型的理论和应用，而在国内，在非线性框架下讨论证券收益的负幂律规律的论文不多，它们主要在分形分布下讨论了我国股市收益率的非线性特征。关于ced模型的讨论国内文献很少有研究论文出现。在本文中，作者将介绍该模型，并将该模型应用于深圳股票市场指数收益分布的研究。ced模型简介根据fmh，不同投资期的投资者对信息的评估不同，因此对价格总体特征的贡
6、献也不同，这导致了价格行为的局部随机和总体统计特征的非随机性。ced模型中假定经济序列是离散的时间序列，在有限的时间段0，t内进行分析。在金融市场中的n个交易者用i1n， i2n，inn表示，rin表示第i个投资者的正收益（或负收益的绝对值）。每个投资者是和其他投资者相关联的，投资者的不同投资期水平用随机风险因子ai表示（短期），信息对投资者的长期影响通过随机因子bij, j=1,2,n, ji反映，它表示信息向投资者传递并影响投资者决策的速度。ced 假设1：对第i个投资者其收益大于r的概率服从以下指数规律：（1）这里 r，a，b为非负常数，bn是一个标准化的常数，c1。指数c的范围与市场价
7、格的回复趋势有关。在ced的假设中，既考虑了短期又考虑长期的影响，认为个体的投资行为依赖于短期和长期因子的共同作用。方程（1）可以写为：（2）ced 假设2：随机变量a1, a2 ,和bi1 , bi2 ,是非负的、独立同分布的随机变量序列，变量r1n ,rnn也是非负、独立同分布的随机变量。设金融资产价格总体收益的分布概率可由如下极限过程表示：（3）这里，rn 是一个正的、标准化的常数。在以上假设下，可以得到(r)服从以下方程：（4）这里，0，k0，0，是取决于方程（3）的参数。文献通过对复杂随机系统的研究，对方程（4）给出了结果：（5）这里，(r)是单调递减的，(0)=1，()=0；总体收
8、益的概率密度函数由下式给出：（6）方程（6）在低收益和高收益处表现出如下负幂律的性质：（7）方程（6）和（7）就是ced模型的最终形式。它假定投资个体的投资期不同，因而对待风险的态度不同，导致投资者对信息的评估也不同，并给出了假设个体收益概率服从指数规律下的总体收益分布的概率密度函数。可见，价格收益的总体分布可用，k三个参数来描述，其中，表示密度曲线的型状，是标度参数， k反映了信息在市场中传播的速度。实证分析（一）实证研究使用的模型和方法为了用实际的金融数据拟合ced模型中的参数，k，本文采用极大似然估计法。首先建立似然函数，根据方程（6），可以得到取对数的极大似然函数：（8）这里，r=(r
9、1 ,., rn)是收益样本，=(，k)是待估计参数矢量。然后，我们就可以通过matlab软件中的单纯形法优化函数nelder-mead来编程拟合待估计参数。对于实际观测值的密度曲线，本章应用核估计方法得到。核估计方法是一种密度估计的非参数方法。密度函数的核估计记为：（9）其中，k()是核函数，它起到加权的作用，核函数的形状和值域控制着用来估计f(x)在点x的密度时所用数据点的个数和利用的程度。在本章中，核函数采用bertlett核函数：（10）式（9）中的bn为：（11）其中，是样本的标准差。（二）实证研究的数据本文使用的金融数据是深圳成分指数的日收盘数据，数据的时间跨度为2006年12月1
10、日到2011年4月29日，共1070个日收盘价数据。数据来自“新华08”金融信息平台。根据日收盘数据，我们可以计算得到一个对数收益率时间序列。计算方法为， r(t)=logs(t)-logs(t-1)，这里s(t)是t日的日收盘价，r(t)是t日的对数收益率（见表1）。（三）实证结果分别对收益率序列中的正收益率和负收益率的绝对值进行拟合。通过对方程（8）应用matlab软件中的nelder-mead，我们得到了正收益率和负收益率的绝对值的收益分布ced模型的各参数估计值。对正收益率来说：+=1.0543 +=60.3428 k+=0.4656 对负收益率的绝对值来说：-=1.1264 -=72
11、.5626 k-=0.5383得出拟合参数后，我们编程计算ced模型的理论收益率与实际收益率的核估计值（kernel estimators），并将结果用双对数图表示于图1中。结论从图1，可以看出ced模型的理论分布与实际收益的核估计分布在收益较高的部分（每条曲线的右半部分）符合得很好，而在收益较低（每条曲线的左半部分）时，符合的不是很好。实际收益分布曲线比较明显地分为两段，而且具有不同的凹凸性。实证结果显示，深圳成分指数的价格收益分布在收益率较高时符合ced模型所描述的负幂律的规律，而在收益率较低时不符合ced模型。这表明，在面临收益率高低不同时，从开市到目前这段时间内，深圳股市的投资者表现出
12、不同的心理效用和行为模式。中国股票市场的历史还较短，新兴市场的不成熟性，决定了其投资者的行为模式所导致的价格收益分布有自身的特点，在理解中国股市价格行为时，不能照搬西方关于成熟市场的价格行为的理论。此外，还有数据量的问题。与西方成熟股市相比，中国股市的较短的历史决定了我国可能还没有足够的数据来验证并得出股市收益的分布规律确切的结论。不过，随着时间的推移，市场的成熟，越来越多的实际数据可以帮助我们更准确地理解ced模型的适用性和中国股票市场的价格收益分布规律。参考文献：1.b.b. mandelbrot. new methods in statistical economics. journal
13、 of political economy 71,19632.peters e.e.(1994). fractal market analysis: applying chaos theory to investment and economics. newyork, ny: john & sons, inc.,19943.s. t. rachev, a. weron, k. weron. conditionally exponential dependence model for asset returns. applied mathematics letters 10 ,19974.ale
14、ksander weron, szymon mercik, rafal weron. origins of the scaling behavior in the dynamics of financial data. physics a 264,19995.szymon mercik, rafal weron. scaling in currency exchange: a conditionally exponential decay approach. physics a 267,19996.黄诒蓉.中国股市收益分形分布的实证研究.南方经济，2006.27.都国雄.我国上证综指收益概率分布的统计特性分析.财经问题研究，2008(9)8.么彩莲等.arch类模型及其在上证指数收益波动中的应用.辽宁石油化工大学学报，2009.39.李庆东.arch类模型及其在上证指数收益波动中的应用.辽宁石油化工大学学报，2005.3
